《线性代数》 试卷及答案 第五套模拟题 .doc

年 月 日 第 页共 页 第五套模拟题 一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题4分，总计20分） 1．设4阶方阵,则 . 2．已知, 则= . 3. 已知，，且，则 . 4．已知向量组,,,,则该向量组的秩是 . 5.设方程组有无穷多解,则 . 二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题4分，总计20分） 1．设均为阶方阵, 则必有（ ）. （A）; （B）； （C）; （D）. 2．设是矩阵, 是阶可逆矩阵,矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）. （A） ； （B）； （C）； （D）与的关系依而定. 3．设均为阶矩阵, 为阶单位阵，若，，则为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 4．对任意实数线性无关的向量组是（ ）. （A）,,； （B）,,； （C）,,； （D）,,. 5．已知矩阵与相似,则与之和等于（ ）. （A）2； （B）3； （C）4； （D）5. 三、解答下列各题（每小题10分，总计50分） 1．已知多项式空间的子空间 求与的基与维数. 2．设, 判断是否可逆，若可逆，求. 3．对于线性方程组，讨论取何值时方程组无解、有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，求出其一般解. 4．设向量组A: ,；向量组B: , ,讨论向量组A和B是否等价. 5．设矩阵,问是否与对角阵相似?若相似,求对角阵及可逆矩阵,使得. 四、证明题（每小题5分,共10分） １．若, 且．证明 是不可逆矩阵. 2．设是对应特征值的特征向量,证明 对于任意的常数,是的特征值。 第五套模拟题答案 一、 1．-3； 2．； 3． ； 4．2； 5. . 二、1．D； 2．C； 3．B； 4．A； 5．C. 三、1．解： 故 它的一组基为 ；，，它的基为。 ……………………10分 2．解：因为，所以可逆, 代入公式得 ………………………………………………………10分 3．解： 对方程组的增广矩阵施以初等行变换 = ， (1)当且时，，从而方程组有唯一解。 (2)当时，，，所以方程组无解。 (3)当时，，故方程组有无穷多解，又因为此时可得与原方程同解的方程组为 则方程组的一般解为 ， (其中为任意常数) …………………10分 4．解：因为 , 所以,故向量组A和B等价 ……………………………10分 5．解：因为,所以与对角阵相似.因,所以的特征值为. 当时, 的基础解系为: ,,当时,的基础解系为:. 取,故 . …………………10分 四、 1. 证明：根据已知有，即 （1） 将(1)两边取行列式得，即，已知, 且，所以，整理得，从而那么是不可逆矩阵。 …………………………………………………5分 2．证明：根据已知有，上式两端同时乘得，所以是的特征值 ………………………………………………………………………………………5分