导数高考真题专题.docx

（2018 年全国卷 1 理科）21.已知函数 f (x) ? 讨论函数 f (x) 的单调性； 1 ? x ? a ln x 。 x 若 f (x) 存在两个极值点 x , x  ，证明 f (x 1 ) ? f (x ) 2 ? a ? 2 。 1 2 x ? x 1 2 （2017 年全国卷 1 理科）21.已知函数 f (x) =ae2x+（a﹣2）ex﹣x. 讨论 f (x) 的单调性； 若 f (x) 有两个零点，求a 的取值范围. （2016 年全国卷 1 理科）21.已知函数 f (x) ?（x ? 2）e x a(x ? 1) 2 有两个零点. 求a 的取值范围； 设 x ，x 是的两个零点，证明： x +x 2. 1 2 1 2 （2015 年全国卷 1 理科）21.已知函数 f（x）= x3 ? ax ? (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y ? f (x) 的切线； 1 , g(x) ? ? ln x 4 （ Ⅱ ） 用 min?m, n? 表 示 m,n 中 的 最 小 值 ， 设 函 数 h(x) ? min? f (x), g(x) ? (x ? 0) ，讨论 h（x）零点的个数 ? ?bex ? ? （2014 年全国卷1 理科）21.设函数 f (x0 aex ln x ，曲线 y ? f (x) 在点（1，f (1)） x 处的切线为 y ? e(x ?1) ? 2 . (Ⅰ)求a, b ； （Ⅱ）证明： f (x) ? 1 . 答案： （2018 年全国卷 1 理科）21. 解：（1）当a ? 2 时， f (x) 在（0，+?）单调递减。 当 a ? 2 时， f (x) 在（0 （ a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a ? 42， ）和（ ,+?） a ? a ? 42 2 2 , ）上单调递增。 2 2 （2） （2017 年全国卷 1 理科）21. 解：（1） f (x) 的定义域为(??, ??) ， f ?(x) ? 2ae2 x ? (a ? 2)e x ?1 ? (aex ?1)(2ex ?1)， （ⅰ）若a ? 0 ，则 f ?(x) ? 0 ，所以 f (x) 在(??, ??) 单调递减. （ⅱ）若a ? 0 ，则由 f ?(x) ? 0 得 x ? ?ln a . 当 x ? (??, ? ln a) 时， f ?(x) ? 0 ；当x ? (? ln a, ??) 时， f ?(x) ? 0 ，所以 f (x) 在 (??, ? ln a) 单调递减，在(? ln a, ??) 单调递增. （2）（ⅰ）若a ? 0 ，由（1）知， f (x) 至多有一个零点. （ ⅱ ） 若 a ? 0 ， 由（ 1 ） 知， 当 x ? ?ln a 时， f (x) 取得最小值， 最小值为 1 f (? ln a) ? 1? a ln a . ①当a ? 1 时，由于 f (? ln a) ? 0 ，故 f (x) 只有一个零点； ②当a ? (1,??) 时，由于1? 1 ? ln a ? 0 ，即 f (? ln a) ? 0 ，故 f (x) 没有零点； a ③当a ? (0,1) 时，1? 1 ? ln a ? 0 ，即 f (? ln a) ? 0 . a 又 f (?2) ? ae?4 ? (a ? 2)e?2 ? 2 ? ?2e?2 ? 2 ? 0 ，故 f (x) 在(??, ? ln a) 有一个零点. 3 设 正 整 数 n 0 满 足 n ? ln( ?1) ， 则 000 a 0 0 f (n 0 ) ? en (aen ? a ? 2) ? n 00 0 ? en n ? 2n 00 0 ? n ? 0 . 0 由于ln( 3 ?1) ? ?ln a ，因此 f (x) 在(? ln a, ??) 有一个零点. a 综上， a 的取值范围为(0,1) . （2016 年全国卷 1 理科） 解：（Ⅰ）． 设，则，只有一个零点． 设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则 ， 故存在两个零点． 设，由得或． 若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为． （Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以 ． 设，则． 所以当时，，而，故当时，．从而，故． （2015 年全国卷 1 理科）21. 解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. ……5 分 （Ⅱ