导数常用的一些技能和结论.docx

. 导数常用的一些技巧和结论 . . . . （2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f ?x?? ae2 x ? ?a ? 2?ex ? x . 讨论 f ?x?的单调性； 若 f ?x?有两个零点，求a 的取值范围. 2e解析：（1） f ?x?? 2ae2 x ? ?a ? 2?ex ?1 ? 2e ?? ? ??x 1 aex 1 ? ? 若 a ? 0 ，则 f ?x?? 0 恒成立，所以 f ?x?在 R 上递减； 若 a ? 0 ，令 f ?x?? 0 ，得ex ? 1 , x ? ln 1 . a a 当 x ? ln 1 a 时， f ?x?? 0 ，所以 f ?x?在? ??,ln ?? ? 1 ? 上递减； a ? a ? ??当 x ? ln 1 时， f ?x?? 0 ，所以 f ?x?在? ln 1 , ?? ? 上递增. ? ? a ? a ? 综上，当a ? 0 时， f ?x?在 R 上递减；当a ? 0 时， f ?x?在? ??,ln 1 ? 上递减，在? ln 1 , ?? ? 上递增. ? ? ? ? a? ? ? a ? a （2） f ?x?有两个零点，必须满足 f ?x? min ? 0，即a ? 0 ，且 f ?x ? ? f ? ln 1 ? ? 1? 1 ? ln 1 a? ?? ?min a ? ? ? ? ? 0 . 构造函数 g ?x?? 1? x ?ln x ， x ? 0 . 易得 g ?x ?? ?1? 1 ? 0 ，所以 g ?x?? 1? x ?ln x 单调递减. x 又因为 g ?1?? 0 ，所以1? 1 ? ln 1 a a  ? 0 ? g ? 1 ? ? g ?1?? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 . a ? ? 下面只要证明当0 ? a ? 1时， f ?x?有两个零点即可，为此我们先证明当x ? 0 时， x ? ln x . 事实上，构造函数h?x?? x ?ln x ，易得h ?x?? 1? 1 ，∴ h?x? ? h?1?? 1 ，所以h ?x?? 0 ，即 x ? ln x . x min ? ? 当0 ? a ? 1时， ? ? a a ? 2 a ? ea ? e2 ? 2 f ?1 ? ? ?1 ? ? 0 ， e2 e e2 ? 3 ? a ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ， f ? ln ? ? a ? ?1? ? a ? 2 ? ?1? ? ln ? ?1? ? ?1? ln ? ?1? ? 0 ? a ? ? a ? ? a ? ? a ? a ? a ? 其中?1 ? ln 1 ， ln 3 ? a ? ln 1 ，所以 f ?x?在? ?1,ln 1 ? ? 1 和ln ,ln 和 3 ? a ?上各有一个零点. a a a ? a ? ? a a ? 故a 的取值范围是?0,1?. 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? a ? 3 ? 一方面： ae2 x ? a ? 2 ex ? x ? 0 ? ae2 x ? a ? 2 ex ? ex ? 0 ? aex ? a ? 3 ? 0 ? ex ? ? x ? ln ? ?1? ； a ? a ? 另一方面： x ? 0 时， ae2 x ? ?a ? 2?ex ? x ? 0 ? ?a ? 2?ex ? x ? 0 ? x ? ?1（目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x ? x ?1， ln x ? x ， ln ?1? x?? x （放缩成双撇函数） ln x ? 1 ? x ? 1 ??x ? 1?， ln x ? 1 ? x ? 1 ??0 ? x ? 1?， ln x ? ? ? xx? 1 ?x ? 1?， ln x ? x x ? ? ? 22x ? ? x ? 2 2 xx? 1 ?0 ? x ? 1?， x x 2 2（放缩成二次函数） ln x ? x2 ? x ， ln ?1? x?? x ? 1 x2 ??1 ? x ? 0?， ln ?1? x?? x ? 1 x2 ?x ? 0? 2 2 （放缩成类反比例函数） ln x ? 1? 1 ， ln x ? 2 ?x ?1? ?x ? ? 1?， ln x ? 2 ?x ?1??0 ? x ? 1?， x x ?1 x ? 1 ln ?1? x?? x ， ln ?1? x?? 2x ?x ? 0?， ln ?1? x?? 2x  ? ?x ?