三角函数基础知识.doc

- . z. 三角函数 根底知识整理 一． 角的概念： 1．角的概念的推广 ⑴旋转〞形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开场时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．正角〞与负角〞0角〞 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成 ⑶意义：用旋转〞定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． 2．象限角〞 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角〔角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限〕 3．终边一样的角 结论：所有与?终边一样的角连同?在内可以构成一个集合： 即：任何一个与角?终边一样的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 注意： (1) (2)?是任意角； (3)与?之间是+〞号， 如：-30°，应看成+(-30°)； (4)终边一样的角不一定相等，但相等的角，终边一定一样，终边一样的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． 二． 弧度制： 1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下列图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 2．弧长公式： 由公式： 比公式简单 即弧长等于弧所对的圆心角〔的弧度数〕的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径 三． 三角函数的定义： 1. 设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P〔*,y〕 则P与原点的距离 2. 比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题： ①角是任意角〞，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即但凡终边一样的角的三角函数值相等 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以比值〞为函数值的函数 ④而*,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域： 的定义域：R 的定义域：R 的定义域： 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与*轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关. 4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正； 余弦在第一、四象限为正； 正切在第一、三象限为正. 四． 诱导公式： 1．必须熟记的两组诱导公式： 诱导公式一〔其中〕: 用弧度制可写成 诱导公式二： 2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限. 诱导公式三： 用弧度制可表示如下： 诱导公式四： 用弧度制可表示如下： 诱导公式五： 用弧度制可表示如下： 诱导公式六： 用弧度制可表示如下： 补充公式七： 用弧度制可表示如下： 补充公式八： 用弧度制可表示如下： 补充公式九： 用弧度制可表示如下： 五．两角和与差的三角函数关系式： 1．两角和与差的三角函数关系式 2 推导公式： 因为.所以sin2θ＋cos2θ＝1 (1)假设令＝sinθ，则＝cosθ 则asinα＋bcosα＝〔sinθsinα＋cosθcosα〕 ＝cos〔θ－α〕 〔或＝cos〔α－θ〕〕 (2)假设令＝cos，则＝sin. 则sinα＋bcosα＝〔sinαcos＋cosαsin〕 ＝sin〔α＋〕 六．二倍角公式： 1.二倍角公式: ； ； ； 注意：〔１〕二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．