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奔驰定理的内容及推导 奔驰定理，又称为拓普兰公式，是著名的德国数学家克劳德拓普 兰在 1899 年所提出的一个定理，它使得无穷维的线性空间的结构可 以由结构性系数矩阵来表达。当时在数学界极具热度，其中最重要的 结果就是奔驰定理。如今，它仍然是抽象线性空间理论的基础。 一、奔驰定理的内容 奔驰定理表明：任意一个结构性系数矩阵 A，它的特征值谱数Λ = ( λ1,2,...,n )，如矩阵A 的秩为n，那么它的可逆矩阵 C 的特征 值谱数Λ=量（1/ λ1, 1/λ2, 1/ λ3,..., 1/ λn），其中λi≠0。 二、奔驰定理的推导 1、奔驰定理的证明思路 克劳德拓普兰在证明奔驰定理的时候，采用了线性变换的方法， 即用一组正交矩阵Q （QT = Q）以及一个对角矩阵Λ来表示矩阵A： A = QQT 其中 Q 是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，它的对角元素是原 矩阵 A 的特征值数Λ = （λ1,2,…,n），即矩阵A 的秩为 n，Q 的列向 量 Q1、Q2、…、Qn 是矩阵 A 的n 个特征向量。 2、奔驰定理的推导过程 （1）由奔驰定理的思路，可以得出矩阵A 的反矩阵C： AC = I = Q ΛQTC （2）由正交矩阵QTC = CQ 可得： C =Q[QTC] = Q( ΛC) - 1 - （3）将矩阵C 代入，可求出矩阵 C 的特征值谱数Λ： ΛC Λ= I （4）取矩阵 C 的特征值谱数Λ’，就可以得出奔驰定理的最终结 果： Λ= (1/ λ1, 1/ λ2,..., 1/ λn) 三、奔驰定理的应用 1、定性分析方法求解线性规划问题 由于奔驰定理的求解过程可以转化为特征值问题，因此可以用定 性分析的方法求解线性规划问题。定性分析法是由 N.K. Naidu、S.C. Jeganathan 于 1980 年提出来的，它是在此理论基础上将线性规划模 型转化为对特征值的定性评价，从而求解线性规划问题。 2、在线性关系模型中的应用 线性关系模型是指总体上的一系列关系或函数之间的一组联系， 这组联系有可能是线性的或者具有某种程度的线性性，由于它同时包 含了实数和复数，因而可以用奔驰定理求解线性关系模型中的最优解。 3、在概率论和数理统计中的应用 奔驰定理的求解过程可以将概率论和数理统计中的问题转化为 特征值法，从而求解最优解，例如求解协方差矩阵及最大似然估计方 法中的最大似然函数，因此也可以将奔驰定理用于概率论和数理统计 中。 四、总结 奔驰定理是抽象线性空间理论的基础，它的推导可以用正交矩阵 - 2 - 的方法将矩阵A 表示为 QQT，结合协方差矩阵及最大似然估计等方法， 可以将线性规划问题转化为特征值问题，从而使用奔驰定理可以求解 线性关系模型中的最优解。由于它的重要性，奔驰定理仍然是现今数 学研究中的重要话题，它已经成为数学研究和应用的基础理论。 - 3 -