丰富的图形世界（压轴必刷30题9种题型专项训练）2023-2024学年七年级数学上册（北师大版）（解析版）.pdf

丰富的图形世界（压轴必刷 30 题 9 种题型专项训练） 一．认识立体图形（共 2 小题） 1．（2020 秋•青羊区校级月考）如图几何体是由若干棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将 露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第 1 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体共有 个．第 3 个几何体中只有 2 个面涂色的 小立方体共有 个． （2 ）求出第 100 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体的块数． （3 ）求出前 100 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体的块数的和． 【分析】（1）第 1 个几何体中最底层的 4 个角的小立方体只有 2 个面涂色；第 3 个几何体中只有 2 个面涂 色的小立方体共有 5 ×4 ＝20 个； （2 ）根据所给图形中只有 2 个面涂色的小立方体的块数得到第 n 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体的 块数与 4 的倍数的关系即可； （3 ）根据（2 ）得到的规律，进行计算即可． z x x 【解答】解：（1）观察图形可得第 1 个几何体中最底层的 4 个角的小立方体只有 2 个面涂色；第 3 个几何 k . c 体中只有 2 个面涂色的小立方体共有 5 ×4 ＝20 个． o m 故答案为：4 ，20； （2 ）观察图形可知：图① 中，只有 2 个面涂色的小立方体共有 4 个； 图② 中，只有 2 个面涂色的小立方体共有 12 个； 图③ 中，只有 2 个面涂色的小立方体共有 20 个． 4 ，12，20 都是 4 的倍数，可分别写成 4 ×1，4 ×3，4 ×5 的形式， 因此，第 n 个图中两面涂色的小立方体共有 4 （2n ﹣1）＝8n ﹣4 ， 则第 100 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体共有 8 ×100 ﹣4 ＝796； （3 ）（8 ×1 ﹣4 ）+ （8 ×2 ﹣4 ）+ （8 ×3 ﹣4 ）+ （8 ×4 ﹣4 ）+ （8 ×5 ﹣4 ）+…+ （8 ×100 ﹣4 ） ＝8 （1+2+3+4+…+100 ）﹣100 ×4 ＝40000 ． 故前 100 个几何体中只有 2 个面涂色的小立方体的个数的和为 40000 ． 【点评】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律；得到所求块数与 4 的倍数的关系是解决本题的关键． 2 ．用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色． （1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8 个小正方体．观察其中三面被涂色的有 a 个，如图①，那么a 等于 ； （2 ）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 27 个小正方体．观察其中三面被涂色的 有 a 个，各面都没有涂色的 b 个，如图② ，那么a+b ＝ ； （3 ）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 64 个小正方体．观察其中两面被涂成红 色有 c 个，各面都没有涂色的 b 个，如图③ ，那么b+c ＝ ． 【分析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位 于表面中心的一面涂色，处于正中心