导数的应用2求字母的取值范围.docx

导数的应用 2（两个极值点） （求字母取值范围） 1. 石景山20．（本题满分 13 分）（10 一模） 已知函数 f (x) ? px ? p ? 2ln x . x （Ⅰ）若 p ? 2 ，求曲线 f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程； （Ⅱ）若函数 f (x) 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （Ⅲ）设函数 g(x) ? 2e ，若在?1, e?上至少存在一点 x x 数 p 的取值范围. ，使得 f (x 0 0 ) ＞ g (x 0 ) 成立，求实 答案：解：（Ⅰ）当 p ? 2 时，函数 f (x) ? 2x ? 2 ? 2ln x ， f (1)? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 ． x f ?(x) ? 2 ? 2 ? 2 ， x2 x 曲线 f (x) 在点(1, f (1))处的切线的斜率为 f ?(1)? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ． 1 分 从而曲线 f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y ? 0 ? 2(x ?1)， 即 y ? 2x ? 2 ． 2 分 （Ⅱ） f ?(x) ? p ? p ? 2 ? px2 ? 2x ? p ． 3 分 x2 x x2 令 h(x) ? px2 ? 2x ? p ，要使 f (x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数，只需 h(x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立 4 分 由题意 p ＞ 0 ， h(x) ? px2 ? 2x ? p 的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为 1 1 x ? ?(0, ??) ，∴ h(x) ? p ? ， p min p 只需 p ? 1 p ? 0 ，即 p ? 1时,h(x) ? 0, f ?(x) ? 0 ， ∴ f (x) 在(0, ??) 内为增函数，正实数 p 的取值范围是[1,??) 6 分 （Ⅲ）∵ g(x) ? 2e 在?1, e?上是减函数， x ∴ x ? e 时， g(x)  min ? 2 ； x ? 1 时， g(x)  max ? 2e ，即 g(x) ??2,2 e?， ……7 分 ①当 p ＜0 时， h(x) ? px2 ? 2x ? p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x ? 1 在 y p 轴的左侧，且h(0) ? 0 ，所以 f (x) 在 x ? ?1, e?内是减函数． 当 p ? 0 时， h(x) ? ?2x ，因为 x ? ?1, e?，所以h(x) ＜0， f ?(x) ? ? 2x ＜0， x2 此时， f (x) 在 x ? ?1, e?内是减函数． 故当 p ? 0 时， f (x) 在?1, e?上单调递减? f (x) ? f (1) ? 0 ? 2 ，不合题意； max ……………………9 分 ②当 0＜ p ＜1 时，由 x ??1,e?? x ? 1 ? 0 ， x 1所以 f (x) ? p(x ? ) ? 2ln x ? x ? 1 x 1 ? 2ln x ． x 又由（Ⅱ）知当 p ? 1时， f (x) 在?1, e?上是增函数， 1 1 1 ∴ x ? ? 2ln x ? e ? ? 2ln e ? e ? ? 2 ＜ 2 ，不合题意； 11 分 x e e ③当 p ? 1 时，由（Ⅱ）知 f (x) 在?1, e?上是增函数， f (1)? 0 ? 2 ， 又 g(x) 在?1, e?上是减函数， 故只需 f (x)  max  g (x) ， x ??1, e?， min 而 f (x)  max ? f (e) ? p(e ? ) ? 2ln e ， g(x) e 11 1  min ? 2 ， 即 p(e ? ) ? 2ln e ? 2 ， e 解得 p ＞ 4e e2 ?1 ， 所以实数 p 的取值范围是( 4e ，? ?) 13 分 e2 ?1 2. 丰台 18．（14 分）已知函数 f (x) ? (x2 ? ax ? 2)ex ,( x, a ? R) . （Ⅰ）当a=0 时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在 R 上单调，求a 的取值范围； 5 （Ⅲ）当a ? ? 时，求函数f(x)的极小值。 2 答案：解: f ?(x) ? ex [x2 ? (a ? 2) x ? a ? 2] （Ⅰ）当a=0 时， f (x) ? (x2 ? 2)ex , f ?(x) ? ex (x2 ? 2x ? 2) , 2 分 f (1)? 3e , f ?(1)? 5e , ∴函数 f(x)的图像在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-3e=5e(x-1), 即 5ex-y-2e=0 4 分 （