线性代数 第三套模拟题答案.doc

年 月 日 第 页共 页 第三套模拟题答案 一、 1．； 2．=； 3． 3； 4． 其中为任意常数； 5. 0. 二、1．A； 2．A； 3．C； 4．B； 5．B. 三、1．解：原式=…= ……………………………………………………10分 2．解：由,用矩阵左乘方程的两端,有得 .由于, 故 ……………………………………10分 3． 解： 所以基下矩阵为 ……………………………………10分 4．解：由题意,向量组:可由向量组:线性表示,则有;由向量组不能由向量组线性表示,必有,即.于是. 解得或.另一方面 当时,, .即线性无关,显然向量组可由线性表示,而向量组不能由线性表示,即是符合题意要求的. 当时,, .不满足,所以不符合题意,应舍去.综上所述. ……………………………………………………………………10分 5．解：因为与相似,所以存在可逆矩阵使.易知 ,又存在可逆矩阵,使,故 ,所以 ……………10分 6．解：二次型的矩阵，的特征值为5，（二重），对应5的一个基础解系为，对应的一个基础解系为，，现将正交化，.将单位化后，可得的一组标准正交基，，.故所求正交阵为且正交变换化二次型为标准形. ………………10分 四、 证明：1. 因 (1) (2) 由(1),(2)可知,得即 (3) 又因 得 (4) 将(4)代入(3)可知,因,所以可逆,即,代入上式可知,故不是可逆阵. ………………………………………………………5分 2． ()若正定,则对均有即，即只有零解,故 ()若,则齐次方程组只有零解.于是对于,均有,故,即正定. ……………………………5分