《线性代数》 试卷及答案 第一套模拟题 .doc

年 月 日 第 页共 页 第一套模拟题 一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计18分） 1．计算3阶行列式 . 2．设为三阶方阵,且，则 . 3. 设阶方阵满足关系式,则= . 4．直线与平面的交点为 . 5. 已知4阶方阵，且，若，，，则非齐次线性方程组的通解为 . 6. 设三阶方阵满足=0,则的特征值为 . 二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计18分） 1．下列命题中，正确的是（ ）. （A）如果矩阵，那么可逆，且； （B）如果阶方阵，均可逆，那么必可逆； （C）如果阶方阵，均不可逆，那么必不可逆； （D）如果阶方阵，均不可逆，那么必不可逆. 2．已知三阶方阵，，，，则必有（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 3．设向量组线性无关，向量组线性相关，则（ ）. （A）必可由线性表示； （B）必不可由线性表示； （C）必可由线性表示； （D）必不可由线性表示. 4．设有向量组，，，，, 则该向量组极大无关组是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 5．设是矩阵，是矩阵,则线性方程组（ ）. （A）当时,仅有零解； （B）当时,必有非零解； （C）当时,仅有零解； （D）当时,必有非零解. 6．设为阶可逆矩阵，是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 三、解答下列各题（每小题10分，总计50分） 1．计算4阶行列式：. 2．已知矩阵，矩阵，其中为三阶可逆矩阵，求. 3．设 的两个子空间为 求与的基与维数. 4．设3阶方阵 ()的每一个列向量均是方程组 的解，(1) 求; (2) 设为此线性方程组的系数矩阵，求. 5．若三阶方阵，求一个正交阵,使为对角阵. 四、证明题（每小题7分，总计14分） １．已知是矩阵，是矩阵，如果，且，证明矩阵. ２．若向量可由线性表示,且表法唯一,证明线性无关． 第一套模拟题答案 一、1．2000； 2．108； 3．； 4．； 5. ; 6 . . 二、1．D； 2．C； 3．C； 4．B； 5．D； 6. B. 三、1．解：D ==……………10分 2．解：因为 ， ……………10分 3．解： 可取 作为子空间的一组基，则 ，故 它的一组基为 ；，，它的基为. ……………………10分 4．解：（1）由于3阶方阵(至少有两列不相同)的每一个列向量都是方程组的解，即方程组的解不唯一，则 ， 解得. (2) 记则 . 则 …………………………………………………………………10分 5．解：因为的特征多项式为 , 于是的特征值为 ， 对于，解方程组得基础解系为，对于，解方程组得基础解系为，利用施密特正交化方法对正交化.令 ， ， 再对单位化，得 ， ， ， 记, 则为正交阵且满足 ……………………………10分 四、 证明：1. 因为，所以 ，又，所以 ，即 ………………………………7分 2． 向量可由线性表示，且表示方法唯一，所以 有解且解唯一.则 ，那么线性无关 ……………………………………………………………………………………………7分