《线性代数》 试卷及答案 第四套模拟题 .doc

年 月 日 第 页共 页 第四套模拟题 一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1．设为3阶方阵,是的伴随矩阵,,则 . 2．设阶矩阵满足,则= . 3. 设向量组,,线性无关,则必满足关系式 . 4．平面内曲线绕轴旋转的旋转面方程 . 5.设3阶方阵满足,则的特征值为 . 二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计15分） 1．设为3阶方阵, 表示中的三个列向量,则（ ）. （A） ； （B）； （C） （D）. 2．设是阶方阵,且,则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 3．设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 4．齐次线性方程组的系数矩阵记为,若存在3阶矩阵,使得, 则（ ）. （A）且； （B）且； （C）且； （D）且. 5．设3阶矩阵,已知矩阵相似于矩阵,则 （ ）. （A）2； （B）3； （C）4； （D）5. 三、解答下列各题（每小题9分，总计63分） 1．计算行列式：. 2．设3阶方阵满足关系式,且，求. 3．考虑向量组,,，, ,求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示. 4．求齐次线性方程组的一个基础解系和通解. 5．设矩阵,问是否与对角阵相似?若相似,求对角阵及可逆矩阵,使得. 6．利用配方法将二次型化为标准形,并求出所用的非退化线性替换及替换矩阵． 7.设线性变换在的一个基下的矩阵为, 求的特征值和对应的线性无关的特征向量. 四、证明题（共7分） 设为阶方阵，满足,且．证明是不可逆矩阵. 第四套模拟题答案 一、 1．64； 2．； 3． ； 4．； 5. . 二、1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C. 三、1．解： …………………………………………………9分 2．解：由已知推出,所以 ………9分 3．解： =，可见为一个极大无关组,且,……………………………………………9分 4．解：由题对方程组的系数矩阵作变换得 ,得基础解系,,,则通解为 其中是任意常数. …………………………………9分 5．解：因为,所以与对角阵相似.因,所以的特征值为. 当时, 的基础解系为: ,,当时,的基础解系为:. 取,故 .…………………………9分 6．解： ,于是可得标准形为,可得,即,令,则为所求. ………………………………………………………………………………………9分 7.解： 故的特征值为 当时，的基础解系为 所以的属于特征值的特征向量为 当时，的基础解系为 所以的属于特征值的特征向量为 ………………………………………………………………………………………9分 四、 证明： 因 ,移项整理得,即,故. …7分