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第一套模拟题
一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题3分,总计18分)
1.计算3阶行列式 .
2.设为三阶方阵,且,则 .
3. 设阶方阵满足关系式,则= .
4.直线与平面的交点为 .
5. 已知4阶方阵,且,若,,,则非齐次线性方程组的通解为 .
6. 设三阶方阵满足=0,则的特征值为 .
二、单项选择题(将正确的选项填在括号内)(每小题3分,总计18分)
1.下列命题中,正确的是( ).
(A)如果矩阵,那么可逆,且;
(B)如果阶方阵,均可逆,那么必可逆;
(C)如果阶方阵,均不可逆,那么必不可逆;
(D)如果阶方阵,均不可逆,那么必不可逆.
2.已知三阶方阵,,,,则必有( ).
(A); (B);
(C); (D).
3.设向量组线性无关,向量组线性相关,则( ).
(A)必可由线性表示; (B)必不可由线性表示;
(C)必可由线性表示; (D)必不可由线性表示.
4.设有向量组,,,,, 则该向量组极大无关组是( ).
(A); (B);
(C); (D).
5.设是矩阵,是矩阵,则线性方程组( ).
(A)当时,仅有零解; (B)当时,必有非零解;
(C)当时,仅有零解; (D)当时,必有非零解.
6.设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是( ).
(A); (B); (C); (D).
三、解答下列各题(每小题10分,总计50分)
1.计算4阶行列式:.
2.已知矩阵,矩阵,其中为三阶可逆矩阵,求.
3.设 的两个子空间为 求与的基与维数.
4.设3阶方阵 ()的每一个列向量均是方程组
的解,(1) 求; (2) 设为此线性方程组的系数矩阵,求.
5.若三阶方阵,求一个正交阵,使为对角阵.
四、证明题(每小题7分,总计14分)
1.已知是矩阵,是矩阵,如果,且,证明矩阵.
2.若向量可由线性表示,且表法唯一,证明线性无关.
第一套模拟题答案
一、1.2000; 2.108; 3.; 4.;
5. ; 6 . .
二、1.D; 2.C; 3.C; 4.B; 5.D; 6. B.
三、1.解:D
==……………10分
2.解:因为
,
……………10分
3.解: 可取
作为子空间的一组基,则
,故 它的一组基为
;,,它的基为.
……………………10分
4.解:(1)由于3阶方阵(至少有两列不相同)的每一个列向量都是方程组的解,即方程组的解不唯一,则
,
解得.
(2) 记则
.
则
…………………………………………………………………10分
5.解:因为的特征多项式为
,
于是的特征值为
,
对于,解方程组得基础解系为,对于,解方程组得基础解系为,利用施密特正交化方法对正交化.令
, ,
再对单位化,得
,
,
,
记, 则为正交阵且满足
……………………………10分
四、 证明:1. 因为,所以 ,又,所以 ,即 ………………………………7分
2. 向量可由线性表示,且表示方法唯一,所以 有解且解唯一.则 ,那么线性无关 ……………………………………………………………………………………………7分
第二套模拟题
一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题4分,总计32分)
1.设是的伴随矩阵,则 .
2.过点且垂直于直线的平面为 .
3.设维向量为阶单位矩阵,矩阵 其中的逆矩阵为则 .
4.设阶矩阵三维列向量已知与线性相关,则 .
5.设向量则向量与的夹角为 .
6.设是齐次线性方程组的基础解系,则也是的基础解系的充要条件是 .
7.设矩阵则 .
8.设矩阵则的伴随矩阵
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