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机床主轴结构优化设计
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机床主轴结构优化设计
一、 机械优化设计的一般过程
①建立优化设计的数学模型
②选择适当的优化方法
③编写计算机程序
④准备必要的初始数据并上机计算
⑤对计算机求得的结果进行必要的分析
其中,建立优化设计的数学模型是首要的和关键的一步,其基本原则有:
1、 设计变量的选择
在充分了解设计要求的基础上,应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析 其主次,尽量减少设计变量的数目,以简化优化设计问题。另外,还应注意设计变量 应当相互独立,否则会使目标函数出现山脊或沟谷,给优化带来困难。
2、 目标函数的确定
常取其中最主要的指标作为目标函数,而其余的指标列为约束条件。
3、 约束条件的确定
在选取约束条件时应当避免出现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束必然 导致可行域为一空集,使问题的解不存在。另外应当尽量减少不必要的约束。 不必要的约束不仅增加优化设计的计算量,而且可能使可行域缩小,影响优化 结果。
二、 优化实例
机床主轴是机床中重要零件之一,一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力 学公式进行结构分析,常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下面以两支 承主轴为例,说明优化设计的全过程。
右图所示的是一个已经简化的机床主轴。已知主轴内 径 d=30mm,外力F=15000N, 许用挠度 y0=0.05m
m。 主轴材料是铸钢。密度p=7.8×10-6Kg/mm3,
弹性模量E=210GPa 设计变量数n=3, 约束函数 个数m=5, 设计变量的初值、上下限列于表8- 1中。
表8-1初始数据
设计变量
X1
X2
X3
初始值
480
100
120
下限值
300
60
90
上限值
650
140
150
E—F 放大
三、 实例分析一数学模型的建立
在设计这根主轴时,有两个重要因素需要考虑。 一是主轴的自重; 一是主轴伸出 端的挠度。对于普通机床,并不追求过高的加工精度,对机床主轴的优化设计,以选取 主轴的自重最轻为目标,外伸端的挠度是约束条件。
(1) 设计变量的确定
当主轴的材料选定时,其设计方案由四个设计变量决定。即孔径d 、外径 D、跨距1及外伸端长度a。由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料, 其大小由机床型号决定,不能作为设计变量。
故设计变量取为 x=[x?x?x?]=[1Da]
(2) 目标函数的确定
机床主轴优化设计的目标函数则为
式中, p- 材料的密度。
(3) 约束条件的确定
主轴刚度是一个重要性能指标,其外伸端的挠度 y 不得超过规定值yo, 据
此建立性能约束
g(x)=y-y?≤0
在外力F 给定的情况下,y 是设计变量x 的函数,其值按下式计算
式中,
则
此外,通常还应考虑主轴内最大应力不得超过许用应力。由于机床主轴对 刚度要求比较高,当满足要求时,强度尚有相当富裕,因此应力约束条件可 不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围,即
1min ≤1≤1max
Dmin ≤D≤Dmax
amin ≤a≤amax
综上所述,将所有约束函数规格化,主轴优化设计的数学模型可表示为
g?(x)=1-x?/1min≤0
g3(x)=1-x?/Dmin≤0
g?(x)=x?/Dmax- 1≤0
gs(x)=1-x?/amin≤0
这里未考虑两个边界约束, x? ≤1max 和x? ≤amax, 这是因为无论从减小伸出端挠 度上看,都要求主轴跨距x? 、伸出端长度x? 往小处变化,所以对其上限可以不作限制。 这样可以减少一些不必要的约束,有利于优化计算。
四、 优化方法的选择
该实例中,设计变量数n=3, 约束函数个数m=5, 且有一个约束函数是非线性的,
故属于非线性多变量约束优化问题。可以选择MATLAB 中 的fmincon() 函数。因
为 fmincon 函数是实现多变量约束优化, 解决非线性多变量约束问题的 一 种
优化方法。当然也可以选择遗传算法ga()。
五、 程序及编译结果
1. 编写 一 个 M 文件返回目标函数在点x 处的值:
fu nction f=my1(x)
p=7,8*10^(-6);
d=30;
f=0.25*pi*p*(x(1)+x(3))*(x(2)^2-d^2);
2. 将非线性约束编进 一个M文件内
function [c,ceq]=nonlcon1(x)
F=15000;
d=30;
E=2. 1*10^5
c=(64*F*x(3)^2*(x(1)+x(3)))/(3*E*pi*(x(2)^4-d^4)*0.05)- 1
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