131二项式定理人教A版.docx

实用标准文案 文档 文档 §1.3.1 二项式定理 (导学案) 一、学习目标： 能从特殊到一般理解二项式定理； 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）； 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析(a ? b)3 的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程. （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是(a ? b)n 的展开式。如(a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ， 那么： (a ? b)3 =? (a ? b)4 =? (a ? b)100 =? 更进一步：(a ? b)n =？ （二）对(a ? b)2 展开式的分析 (a ? b)2 ? (a ? b)(a ? b) 展开后其项的形式为： a 2 , ab, b2 考虑b ，每个都不取b 的情况有 1 种，即c0 2 ,则a 2 前的系数为c0 2 恰有 1 个取b 的情况有c1 种，则ab 前的系数为c1 2 恰有 2 个取b 的情况有c2 2 2 种，则b2 前的系数为c2 2 所以 (a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ? c0 a 2 ? c1 ab ? c 2b2 2 2 2 类似地 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 ? c0 a3 ? c1a 2b ? c 2 ab2 ? c3b3 3 3 3 3 思考： (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) =? 问题： (a ? b)4 展开后各项形式分别是什么？ a 4 a3b a 2 b 2 ab 3 b4 各项前的系数代表着什么？(各项前的系数 就是在 4 个括号中选几个取b 的方法种数) 你能分析说明各项前的系数吗？ 每个都不取b 的情况有 1 种，即c0 ,则a 4 前的系数为c0 ;恰有 1 个取b 的情况有c1 种，则a3b 前 4 4 4 的系数为c1 4 恰有 2 个取b 的情况有c2 种，则 a 2 b 2 前的系数为c2 ;恰有 3 个取b 的情况有c3 种，则ab 3 前的 4 4 4 系数为c3 4 恰有 4 个取b 的情况有c4 种，则b4 前的系数为c4 4 4 则 (a ? b)4 ? c0 a 4 ? c1 a3b ? c 2 a 2b2 ? c3 ab3 ? c 4b4 4 4 4 4 4 ※推广：得二项展开式定理： 一般地，对于n ? N *有 (a ? b)n ? c0 an c1 an?1b ? c 2 an?2b2 c3 an?3b3 ? cr an?r br ? ......cn?1abn?1 ? cnbn n n n n n n n 右边的多项式叫做(a ? b)n 的二项展开式 cr an?r br ：二项展开式的通项，记作T n r ?1 c0 , c1 , c 2 ,......,cr ,......,cn ： 二项式系数 n n n n n ※注 1）．二项展开式共有n ? 1 项，每项前都有二项式系数 2）．各项中a 的指数从n 起依次减小 1，到 0 为此 各项中b 的指数从 0 起依次增加 1，到n 为此 如(1 ? x)n ? 1 ? c1 x ? c 2 x 2 ? ... ? cr xr ? ... ? cn?1 xn?1 xn n n n n 三、典型例题 xx例 1：求（2 ? 1 ）6的展开式． x x 思考：（1）展开式的第 3 项是多少？ （2）你能否直接求出展开式的第 3 项？ （3）展开式的第 3 项的系数是多少？ （4）展开式的第 3 项的二项式系数是多少？ 例 2：（1）求?1 ? 2x ?7 的展开式的第 4 项的系数 变式： ?1 ? 2x ?7 的展开式的第 4 项的二项式系数是 反思：要注意二项式系数与系数的区别 ?（2）求? x ? ? ? 1 ?9 x x? 展开式中 3 的系数。 x x ? 3x 3 x 4、求( 3 )9 展开式中的常数项和中间项. 五.练习达标 练习1.化简: ?x ?1?4 ? 4 ?x ?1?3 ? 6 ?x ?1?2 ? 4 ?x ?1?? 1 练习 2. 在?x ?1??x ? 2??x ? 3??x ? 4??x ? 5?的展开式中含 x4 项的系数是 ? 1 ?9 2x练习 3.⑴ 求? x2 ? ? 的展开式中的常数项； 2x ? ? ⑵ 若?1 ? 2x ?n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求n 及?1 ? 2x ?n 展开式中含 x 3的项． §1.3.1