平方根和立方根知识点总结及练习文档.docx

【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即：如果 x 2 ? a ，那么 x 叫做 a 的平方根． 开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 平方与开平方互为逆运算： ? 3 的平方等于 9，9 的平方根是? 3 aa一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 a a 符号：正数 a 的正的平方根可用 表示， 也是 a 的算术平方根； a正数 a 的负的平方根可用- a x ? ? a（6） x x ? ? a 表示． a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 ? a ，那么这 个正数 x 叫做 a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是 0. a也就是，在等式 x 2 ? a (x≥0)中，规定 x ? a 。 a a（2） a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， 是一个有限数； a当 a 不是一个完全平方数时， a 当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 是一个无限不循环小数。 a一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 夹值法及估计一个（无理）数的大小 倍，例如错 x ? a（5） x 2 ? x ? a a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 aa （ a ? 0） ? 0 a a 2 ? a ? ；注意 a 的双重非负性： - a （ a 0） a ? 0 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 3、立方根 （1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三 次方根），即如果 x3 ? a ，那么 x 叫做a 的立方根 一个数a 的立方根，记作 3 a ，读作：“三次根号a ”， 其中a 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性， 求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 3 ?a ? ? 3 a ?a ? 0?。 （5） x 3 ? a — x ? 3 a a 是 x 的立方 x 的立方是 a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x （6） 3 ? a ? ?3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 【典型例题分析】 知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是（ ） A、 的平方根是±3 B、1 的立方根是±1 C、 =±1 D、 是 5 的平方根的相反数 2、下列语句中，正确的是（ ） A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根 C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个 3 、下列说法中：① ? 3 都是 27 的立方根，② 3 y 3 ? y ，③ 64 的立方根是 2 ， ④ 3 ?? 8?2 ? ?4 。其中正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 4、??0.7?2 的平方根是（ ） A． ?0.7 B． ?0.7 C． 0.7 D． 0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ） A、－2 与 (?2)2 B、－2 和3 ? 8 C、－ 1 2 与 2 D、︱－2︱和 2 知识点二：计算类题型 1、25 的算术平方根是 ；平方根是 . -27 立方根是 . ， ， . 2、 (?4)2 ? ； 3 (?6)3 ? ； ( 196 ) 2= . 3 ? 8 = . 3、① 2 +3 2 —5 2 ② 7 ( 1 - 7 ) 7 ③ | 3 ? 2 | + | 3 ? 2 |- | 2 ?1 | ④ 3 8 ? (?2)2 ?