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第03讲 因式分解(精讲)
目录
一、知识衔接
二、典型例题
题型一:提公因式法因式分解
题型二:运用公式法分解因式
题型三:利用平方差,完全平方和(差)公式巧计算
题型四:首项系数为“1”的二次三项式因式分解
题型五:首项系数“不为1”的二次三项式因式分解
题型六:含参数的十字相乘法
题型七:十字相乘法的综合应用
题型八:分组分解法(四项式,五项式,六项式等)
题型九:利用求根法分解因式
题型十:利用因式分解解决实际问题
一、知识衔接
一、初中知识再现
1、因式分解定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种运算叫做因式分解.
2、提公因式法
(1)如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:
(2)概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”;
②公因式可能是单项式,也可能是多项式;
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3、公式法:
3.1公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:
特别说明:
(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
(2)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.
(3)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.
3.2公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.
即,.
形如,的式子叫做完全平方式.
特别说明:
(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式;
(2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.
(3)完全平方公式有两个,二者不能互相代替,注意二者的使用条件.
(4)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式,若存在 ,则
特别说明:
(1)在对分解因式时,要先从常数项的正、负入手,若,则,同号(若,则,异号),然后依据一次项系数的正负再确定,的符号
(2)若中的,为整数时,要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于,直到凑对为止.
4.2首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把排列如下:
按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即.
特别说明:
(1)分解思路为“看两端,凑中间”
(2)二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
5、分组分解法
对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.
6、求根公式法
对于一元二次方程,当时,一元二次方程有两个实数根,记为:.此时对应的二次三项式可分解为:.
二、高中相关知识
1、乘法公式中的立方和、立方差公式:
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
二、典型例题
题型一:提公因式法因式分解
1.(2022·福建省漳州第一中学八年级期中)因式分解:______.
2.(2022·上海市西南模范中学九年级期中)分解因式:_________________
3.(2022·吉林白山·一模)分解因式:______.
4.(2022·广东汕头·一模)已知,,则________.
5.(2022·湖南娄底·七年级期中)因式分解:;
题型二:运用公式法分解因式
1.(2021·河南许昌·八年级阶段练习)由多项式与多项式相乘的法则可知:
即:(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3=a3+b3
即:(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3①,我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式.
同理,(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3②,我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式.
请利用公式分解因式:﹣64x3+y3=___.
2.(2022·重庆南开中学八年级期中)因式分解:
(1);
(2).
3.(2022·江苏扬州·七年级期中)因式分解
(1)
(2)
4.(2022·江苏盐城·七年级期中)因式分解:
(1);
(2).
5.(2022·江苏盐城·七年级期中)分解因式:
(1
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