二次根式培优专题.docx

二次根式培优专题 （一） 一、基础知识回顾 a二次根式：式子 a （ a ≥0）叫做二次根式。 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 二次根式的性质： （1） ( a )2 ? a （ a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：  a （ a ＞0） a 2? a ? 0 （ a =0）； a 2 ? a （ a ＜0） 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． abababa? ? b (a ? 0, b ? 0) ? (a ? 0,b ? 0) ab a b a b a 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式， 都适用于二次根式的运算． 二、精典考题 类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A． 45 B． 3 ?? C． 14 D． 1 2 2、二次根式 2x ? 1 有意义时的 x 的取值范围是 。 x 2 ? 4 3、已知： y ? x ? 2 ? ? x ? 2 ? 1，则 (x ? y) 2001= 。 类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 6、把? 4 3 的根号外的因式移到根号内得 ； 5 ? 2 6 的平方根是 。 7、化简： x ? 1 ? ； (3 ? 7 )2 ? 2 ( 7 ? 5)2 ? (2 ? 7 )2 ? 。 x 类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简） 8、把3 1 3 ， 2 3 ， 1 2 27 ， 1 2 75 按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化） 9、若a ? 2 ? 3 ， b ? 2 ? 3 ，则a 与 b 的关系是（ ） A．互为相反数；B．互为倒数；C．互为负倒数；D．以上均不对。 10、已知： x ? 5 ? 2 , y ? 5 ? 2 求 1 （ 1 + 1 ）的值。（想一想：有几种解法？） 4、代数式3 ?4 ? 4、代数式3 ? 4 ? x 2 的最大值是 。 5、实数在数轴上的位置如图 1 所示，化简 a ?1? (a ? 2)2 ?K K 。 （图 1） 1 ?1?1?? 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? 1 1? 2 2 ? 3 3? 4 99? 100 随堂练习 325 ?10c 3 25 ?10c ? c2 2、若?ABC 的三边 a,b,c 满足2a 2 ? b2 ?12a ? 8b ? ? ?34 ，判断三角形的形状。 3、在如图 2 所示的 4×4 的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三条边AB、BC 和 AC 的 长分别为 2， 4 1 ， 2 125 。 2 5 4、已知： a, b 为实数，且满足a ? b2 ? 9 ? 9 ? b2 ? 4 b ? 3 ，求6a ? 3b 的值。 1? 1? a a ? ) ? ( ? ) 6、已知： m ? ,求1 ? 2m ? m2 ? 12 ? 3 1 2 ? 3  m2 ? 2m m2 ? 2m ? 1 的值。 c ? 1[思考题]已知： a ? c ? 1 ? 1 |? 4 2 ? 4 ,求 a,b,c 的值。 三、同步练习 a 2a 2 a 2 a 2 a 4b8 A．若 ? ?a ，则a0 B．若 ? a,则a ? 0 C． ? a 2b4 D．5 的平方根是 5 aa ?1a a a ?1 a a ?1 1? a a a ? 2 b ? 1 23 2  2 的值是（ ） m?13 m ?1 3 2(m ? 3) 3 2  D．0 3．化简| x ? y | ? x 2(x ? y ? 0) 的结果是（ ） A． y ? 2x B． y C． 2x ? y D． ? y ab若 是二次根式，则a，b 应满足的条件是（ ） a b A．a，b 均为非负数 B．a，b 同号 C．a≥0，b0 D． a ? 0 b a3bababab5．（2005·湖北武汉）已知 a a3b ab ab ab 的正确结果是（ ） ab