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hilmann不等式的权系数分析 0 特殊函数的证明 1991年，著名的数学家徐立之首次使用了这种权重系数法，并加强了hilbert等等长维应用研究。杨维诚等人在一系列应用研究中使用了等具体函数，以证明其最好，并改进和改进了该方法。在本研究中，我们提出了使用权函数方法和实践分析技巧的最佳常数复合矩的等式，并考虑了等式中的等式，以证明常数因子是最佳的。在这项研究中，使用了以下特殊函数。 Γ-函数: 由Leibnize审敛法易知, x0时, 交错级数收敛, 记其和函数为S (x) , 即 引理2设, 定义如下权函数: 其中, 特别当a=2m (m=1, 2, …) 为偶数时, 这里的Ek同引理1是欧勒 (Euler) 数. 证明令u=axy, 有 代入式 (4) 即得式 (5) . 引理3设p1,, a0, 0εmin{ap, aq}, 且ε充分小, 定义如下函数: 则有 因为内连续, 且, 故存在M0, 使得, 于是有 1 用定理2.2常值的常数因子cpa是式的最佳值a 定理1设 使得 则有 这里的常数因子C (a) (同式 (4) ) 是式 (8) 的最佳值. 证明配方由带权的H9lder不等式和引理2有 若式 (9) 取等号, 则有不全为零的实数A与B, 使 不妨设A≠0, 有 矛盾, 故式 (9) 取严格不等号, 即式 (8) 成立. 若C (a) 不是式 (8) 的最佳常数因子, 则存在正数KC (a) , 使式 (8) 的常数因子换成K后仍成立, 由式 (6) 和 (7) 有 让ε→0+, 得K≥C (a) , 这与KC (a) 矛盾, 故C (a) 是式 (8) 的最佳常数因子. 定理2设, a0, f≥0, 使得 则有 这里的常数因子Cp(a) 是式 (10) 的最佳值, 且式 (10) 与 (8) 等价. 证明设[f (x) ]n=min{n, f (x) }, 因 存在n0∈N, 当n≥n0时, 有 置 即 当n→∞时, 应用式 (8) , 则式 (11) 取严格不等号, 式 (12) 亦然, 故有式 (10) 成立. 反之, 由H9lder不等式有 上述不等式即为式 (8) , 因此式 (10) 和式 (8) 等价. 若式 (10) 中的常数因子不是最佳的, 则由式 (10) 得到式 (8) 的常数因子也不是最佳的, 这与定理1已证过的结论矛盾, 故常数因子Cp(a) 是式 (10) 的最佳值. 在式 (8) 和式 (10) 中选取合适的参数a以及共轭指数对 (p, q) 的合适值, 可以得到一些有意义的不等式. 如取a=1, p=q=2, 这时C (1) =catalan常数=0.9159655942+, 若f, g≥0, 且使得 如取, p=q=2, 由式 (4) 并用软件Maple计算得: 这里的常数因子分别是式 (17) , (18) 的最佳值. 引理1求和公式: 这里的Ek称为欧勒 (Euler) 数, k=0, 1, 2, …, 有 则 同理可证ω (a, y) =C (a) yq (1-a) -1.特别 由式 (3) , 证明易得 a.e.于 (0, ∞) × (0, ∞) , 于是有常数C, 使 与 则当n≥n0时, 由式 (8) 有 则有下列等价不等式: 这里的常数因子catalan, (catalan)2分别是式 (13) , (14) 的最佳值. 则有下列等价不等式: 若f, g≥0, 且使得 则有下列等价不等式: 如取a=2, p=q=2, 由式 (5) 有.若f, g≥0使得 这里的常数因子分别是式 (15) , (16) 的最佳值.