通信网理论分析要点.ppt

第2章 通信网理论分析 2.1　排队论基础 1.　排队模型基本概念 只有一个服务员的单服务员排队模型是最简单的排队模型。它由一个服务员和一个代表队列的方框组成，如图2.1所示。图中的λ是顾客到达率或称系统负荷，例如，在电话网中它表示单位时间内发生的呼叫次数（呼叫/秒）；在分组交换网中表示单位时间发生的分组信息数（分组/秒）。μ是顾客离去率或称系统服务率，它的单位与λ 相同。例如，在分组网中， μ 是由分组长度（bit）和链路传输速率（bit/s）所决定，其单位是分组/秒。例如，一条速率C?=?2?400bit/s的传输链路，在传输一个长度为1?000bit的分组时，其服务率μ =?2.4分组/秒。 图2.1　单服务员排队模型 系统负荷与系统容量之比称为服务强度或链路利用率，即ρ=?λ?/ μ，这是排队论中的一个重要的参数。对于单服务员排队模型，当ρ 趋近或超过1时，就会进入阻塞，时延迅速增大，到达的分组被阻塞。 对于一般的排队系统，有一套A/B/C表示符号，A表示顾客到达的分布特性，B表示服务员的服务分布特性，C表示服务员的个数。有时采用A/B/C/K/M这样的符号，A、B、C的含义不变，K表示排队系统的容量，省略这一项表示K→∞；M表示潜在的顾客数，对于潜在顾客数M→∞时，也可省去此项。常见的几种排队系统模型符号表示如下。 M/M/1排队：表示泊松到达、指数服务特性、一个服务员的排队系统。这里符号M来自马尔可夫（Markov）过程，用来表示泊松过程或相应的指数分布。 M/M/m排队：表示泊松到达、指数服务分布特性、m个服务员的排队系统。 M/G/1排队：表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。 M/D/1排队：表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。 为了对泊松过程进行定义，在时间轴上取一个很小的时隙Dt，如图2.2所示。用下面3个表述来对泊松过程进行定义。 ① 在时隙△t中有一个顾客到达的概率定义为λ△t +o(△t)，o(△t)表示△t的更高阶项，当△t →0时，它更快地趋于0； λ 是一比例常数，且λ△t 1。 ② 在△t中没有顾客到达的概率是1? λ△t +o(△t)。 ③ 到达是无记忆的，即在长度为△t的一个时隙内的顾客到达，与以前或以后的时隙中的到达无关。 图2.2　用于定义泊松过程的时隙 图2.3　泊松到达的时间间隔 利用上述3点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率p(k)，由下式给出： p(k)=(l?T)ke?l?T/k!（k?=?0，1，2，…） （2.1） 这就是熟知的泊松分布。其平均值E(k)和方差 由下式给出: （2.2） （2.3） 式中，l?为速率参数，它代表泊松到达的平均速率。 图2.3所示为随机到达的示意图，相继到达之间的时间间隔为t，显然，t?是一个连续分布的正随机变量。对于泊松到达，可以证明t?服从指数分布，其概率密度函数f(t?)可由下式给出： f(t)=le?lt（t?≥0） 这一指数分布的平均值E(t?)为 它的方差 为： =1/l2 例如，某电话局忙时平均呼叫率为每小时1?000次，则平均来话间隔E(t?)?=?3.6s，平均来话间隔为10s的概率为0.94。 2.　M/M/1，M/G/1，M/D/1排队模型 1）．M/M/1排队模型 M/M/1排队模型是一个符合泊松到达、指数服务时间、按先进先出（FIFO）规则服务的单服务员排队模型。图2.4所示为M/M/1排队模型示意图，图中顾客到达率为l?。 图2.4　M/M/1排队模型 我们首先利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待时间E(w)等。 假设，当系统中有n个顾客时，称此系统处于状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由此，我们可以用图2.5表示M/M/1排队系统的状态转移关系。例如，图中“1”表示系统中有一个顾客，相应的出现概率为P1，依此类推。 图2.5　M/M/1排队系统的状态图 在系统状态图中，有顾客到达时，状态以l?速率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速率m?向左移动一步。在系统处于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程： （2.4） 平衡方程是通过稳态平衡原理来建立的，等式两边分别表示脱离状态n的速率与由状态n?1或n+1进入状态n的速率。在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程，我们可以得到： 在M/M/1