吉林大学数学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解.pdf

2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题 2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题及详解一、（25分）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（Ф（1.67））＝0.9225；Ф（0.6）＝0.7257；Ф（0.33）＝0.6293） 解：由题意可知每个部件正常工作的概率为0.9，总样本数n＝100，用X表示正常工作的部件的数量，X～B（100，0.9），则整个系统起作用的概率为P（X≥85）。np＝90＞5且n（1－p）＝9＞5，根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知， 所以整个系统起作用的概率为： 二、（25分） 1由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为 其中b＝m/（2kT），k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。 解：根据概率密度函数的性质可得： 解得 又b＝m/（2kT），故 2研究了英格兰在1875年～1951年期间，在矿山上发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的T（以日计）服从指数分布，其概率密度为： 求分布函数FT（t），并求概率P{50＜T＜100}。 解：当t＞0时 当t≤0时，FT（t）＝0。 所以分布函数为 三、（25分）设某电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为 其中c，θ（c，θ≥0）为未知参数。自一批这种器件中随机抽取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为x1≤x2≤……≤xn。 （1）求θ与c的最大似然估计； （2）求θ与c的矩估计。 解：（1）似然函数为 两边求对数得到对数似然函数为： 因为lnL（θ，c）关于c单调递增，且当x1＞c时L＞0，当x1＜c时L＝0，所以c(∧)L＝x1是唯一使L达到最大的c值，即c的MLE。将lnL（θ，c）对θ求偏导并令其等于0，得到－nθ＋nx(＿)－nc＝0，由于似然函数是指数族的形式，且θ(∧)L的属于自然参数空间Θ*＝{θ：θ≥0}＝[0，∞）的内点集，故θ的极大似然估计为θ(∧)L＝x(＿)－x1。 （2） 因为DT＝ET2－（ET）2＝θ2，所以θ和c的矩估计为： 四、（25分）设从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中，分别抽取容量为η1，η2的两个独立样本，X(＿)1和X(＿)2分别是两样本的均值。试证：对任意常数a，b（a＋b＝1），Y＝aX(＿)1＋bX(＿)2都是μ的无偏估计并确定常数a，b使Y的方差Var（Y）达到最小。 解：由题意可知， 同理E（X(＿)2）＝μ，所以有： E（Y）＝E（aX(＿)1＋bX(＿)2）＝aE（X(＿)1）＋bE（X(＿)2）＝aμ＋bμ＝（a＋b）μ＝μ 因此，对任意常数a，b（a＋b＝1），Y＝aX(＿)1＋bX(＿)2都是μ的无偏估计。 因为两样本相互独立，所以： 当a＝n1/（n1＋n2），b＝n2/（n1＋n2）时，Var（Y）达到最小值。 五、（25分）随机地选8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm），得到如下数据。 设各对数据的差Di＝Xi－Yi（i＝1，2，……，8）是来自正态总体（μD，σD2）的样本，μD，σD2均未知，问是否可以认为早晨的身高要比晚上的身高要高？（取α＝0.05，t0.05（7）＝1.8946） 解：整理数据得到下表： 第一步：提出假设：H0：μD≤0；H0：μD＞0 第二步：计算D的均值和方差：D(＿)＝（0＋1＋3＋2＋1＋2－1＋2）/8＝1.25 第三步：构造检验统计量 第四步：当原假设成立时，根据样本数据计算检验统计量的值为T＝2.76； 第五步：做出决策：当α＝0.05时，t0.05＝1.8946，因为T＝2.76＞1.8946，所以拒绝原假设，认为早晨的身高比晚上的身高要高。 六、（25分）假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为 yi＝βxi＋εi，i＝1，…，n E（εi）＝0，Var（εi）＝σ2，诸观测者相互独立。 （1）写出β，σ2的最小二乘估计； （2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为y(∧)0，求Var（y(∧)0）。 解：（1）根据最小二乘法，使∑（yi－y(∧)i）2＝∑（yi－β(∧)xi）2最小。令Q＝∑（yi－y(∧)i）2根据微积分的极值定理，对Q求相应于β的偏导数，并令其等于0，便可求出β(∧)，即 由于随机项εi不可观测，只能从εi的估计——残差ei出发，对总体方差σ2进行估计。可证σ2的OLS为 （2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为y(∧)0，y(∧)0的方差为： 用最小二乘法计算得到