线性空间与线性变换重要.pptVIP

向量组的等价 性质 当前第31页\共有66页\编于星期二\13点 定理1 下列命题等价 (1) (2) C的行向量组可由B的行向量组线性表示 (3) C的列向量组可由A的列向量组线性表示 当前第32页\共有66页\编于星期二\13点 推论1 矩阵A经过初等行(列)变换化为B, 则 A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。 定理2 若向量组 线性无关，且可由 线性表示，则 推论2 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量. 当前第33页\共有66页\编于星期二\13点 3.4 线性子空间 对三维几何空间： y x z O 任何过原点的平面是R3的子集 在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。 R3的线性子空间 当前第34页\共有66页\编于星期二\13点 线性子空间 定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果 W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成 F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间. 定理: W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要 条件是 V的子空间 注 V和零子空间是V的平凡子空间； 其它子空间称为V的真子空间. 当前第35页\共有66页\编于星期二\13点 生成子空间 当前第36页\共有66页\编于星期二\13点 如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？ 如三维几何空间： y x z O 3.4 线性子空间 当前第37页\共有66页\编于星期二\13点 基、维数和坐标 注: (1)规定V={ }为零维空间. (2)有限维线性空间V的基不唯一. 当前第38页\共有66页\编于星期二\13点 向量组的秩 (一) ：若以 的部分组为基 当前第39页\共有66页\编于星期二\13点 当前第40页\共有66页\编于星期二\13点 寻基求秩 的过程 明确向量组线性 关系的过程 (找最大线性无关组的过程) 当前第41页\共有66页\编于星期二\13点 当前第42页\共有66页\编于星期二\13点 解 * 当前第43页\共有66页\编于星期二\13点 继续行变换 (行最简形) 当前第44页\共有66页\编于星期二\13点 总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间 的基： (1)将向量按列写成矩阵： (2)用初等行变换将矩阵化为行阶梯形； (3)行阶梯形非零行的行数r即为空间的维数； (4)如果行阶梯形每个非零行的首非零元对应列指标为 ，则 (5)若要明确其他向量和最大无关组的线性关系，需继 续进行行变换将矩阵化为行最简形……. 当前第45页\共有66页\编于星期二\13点 注：若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向量组，选取部分组为对应子空间的基. 转置不改变行向量组的线性关系。 (二) ：若不以 的部分组为基 当前第46页\共有66页\编于星期二\13点 则需要找与 等价的线性无关向量组 (二) ：若不以 的部分组为基 Recall 推论 矩阵A经过初等行(列)变换化为B, 则 A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。 当前第47页\共有66页\编于星期二\13点 第三章 线性空间与线性变换 当前第1页\共有66页\编于星期二\13点 3.1 线性空间的定义与性质 0 数轴 平面 三维空间 y x z O x y O 常见的几何空间： 当前第2页\共有66页\编于星期二\13点 几何空间R3的运算 运算规律 加法： 数乘： 当前第3页\共有66页\编于星期二\13点 当前第4页\共有66页\编于星期二\13点 对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质； 在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。 线性空间 当前第5页\共有66页\编于星期二\13点 　　若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 定义１ 设 是一个非空集合， 为一个数域．如果 对于任意两个元素 　，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律: 当前第6页\共有66页\编于星期二\13点 那么 就称为数域 上的线性空间． 当前第7页\共有66页\编于星期二\