4高阶导数分析和总结.docx

§ 4 高阶导数高阶导数的概念： 加速度 高阶导数 定义: 注意区分符号 和 以函数法. 高阶导数的记法: 函数 在  为例介绍高阶导数计算方 处的 阶导数记为 相应的 阶导数记为 二. 几个特殊函数的高阶导数: 多项式: 多项式的高阶导数. 例 1 求 和 . 2. 正弦和余弦函数: 计算 3． 、 、 和 的高阶导数： 、 的公式. 的高阶导数： 的高阶导数： 分段函数在分段点的高阶导数： 以函数 为例，求 . 三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则 1． 2． 3． 乘积高阶导数的 Leibniz 公式： 例 设 求 利用萊布尼兹公式 ， 取 注意：利用萊布尼兹公式时要注意 与 的选取次序，否则会使计算复杂。 例 2 求 解 例 3 y = x 2 sm x , 求 Y(8,0_) 解 (x:J)= 2x, (x:J)N = 2, (.:r了 ＝ ...= (x:J 严＝ 0， (sin 五）t （0) = 8lll X, (81ll 五）心）＝－c08 X, （slll x（) ？8) =－811l X y(80) =（x3 Sin x)(80) ＝ x3 5111 x+802x(-co5x)+ 80-79 2 2－( 5lll x) (.x2 - 6320) Sill.X -160.x COS X 例 4 y = J (arctgx) 其中j(x) 二阶可导. 求 矿y ． dx2 例 5 验证函数 y ＝ 沮 csm x  满足微分方程 (1- 卢y( 习十勾＿（2n +1) x沪: 引＿ 矿产 ＝ 0 （ 抖 2 3) 并依此求 y 习）（0) yf= 1 解 言＇ 五言飞＇＝1 两端求导 = ｀言 沪－ 矿r = 0, ｀ 即 (1- x:i) y 仁寸 ＝ 0 ＂对上式两端求 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有 ＂ (1- x2)y 位心）＋竺(- 2x)y( :i.i +)l ＋心(- 2)产 －xy” +1) 三 产 ＝ = (1- x2 ) y 忱＋J ) - ( 2庄 1)奇ml ) ＿ 汒y 位）＝ 0 可见函数y ＝ 祖 CSltl X 满足所指方程. 在上式中令注意到 得递推公式 和 , 就有 时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: 例 6 求 解 习 题 课一. 可导条件: 例 1 设在点 的某邻域内有 证明 在点 可 导. 例 2 设函数 在点 可导, 则在点 不可导. 例 3 设函数 定义在区间 内, 试证明: 在点 可导的充要条件是存在 内 例 4 的函数件 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适合条 j（动— j (xo ) =（x— xo )f 中 ( x)， 并有 广（动＝f 飞Xo) 证 今 设j (x。)存在, 定义 xE(a,b) lj 位）－J伈） l f 飞）＝ x- X。 j 行 。），  X X 0 1 X = X。” 易验证函数 j...(x) 在点X。连续, j ( x) - j 伈）＝（x - x。)广(xl) 且 广（动＝J＇x（。) 仁） 设  f (x)- f（心；；；；； 体－心j 飞x),  又厂 ( x) 在点  X。连 续. 则有 f 飞 。）＝比 j(x)- j 心） ＝血 j 飞x) = j 哱体。）， X- 环 X — X (I r-X 0 即 j （ X。) 存在且 j ( x.。)＝ j 申 ( x(I） 二. 求导数或求切线: 例 4 j ( x)＝ x(x — l )(x— 2) . .. (x — 25)1 例 求 jr(O) 和 j(1) 5 j (x)＝ a rctg 卢 ， （j 忑）－f 门亏＋ 2h ) ）1 ） 1-5 （ 求 h-+o h 归 ）＝［三 ， X ＃ 0, 例 6 0, X = 0.  求 j :ii (O) ft (O) ＝血 l l ，了气 8  lim t — =＝＝＝＝ —， = 0 解 : 0 x t-0 e t 。,0=x x，l 一2r＿ 。 , 0 = x x ， l 一2r ＿ e , 2 一3x0 ＿ P ( —1 ) e y X  ＿l ＿ 2 ,. x ;i:; 0, 设 j 位）（x) = I O l 牙 ＝ 0 1）1-X（p 1 ） 1-X （ p g汜 m , 1nn — = 0, 数 妇 伈 e 2 则有 j 伍l（) 1 _. 1 0)＝ 血 — P( — 0) x [ X X l －一 ) g $ =0 所以，对Vn 有 f(:-i)(O)=O 例 7 抛物线方程为 y=