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决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(江苏专版)
专题13圆与函数相似三角函数综合问题
【考点1】圆与三角函数综合问题
【例1】(2020?镇江)如图,?ABCD中,∠ABC的平分线BO交边AD于点O,OD=4,以点O为圆心,OD长为半径作⊙O,分别交边DA、DC于点M、N.点E在边BC上,OE交⊙O于点G,G为MN的中点.
(1)求证:四边形ABEO为菱形;
(2)已知cos∠ABC=13,连接AE,当AE与⊙O相切时,求
【变式1-1】(2019?南通)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,以边AC上一点O为圆心,OA为半径的⊙O经过点B.
(1)求⊙O的半径;
(2)点P为劣弧AB中点,作PQ⊥AC,垂足为Q,求OQ的长;
(3)在(2)的条件下,连接PC,求tan∠PCA的值.
【变式1-2】(2019?镇江)在三角形纸片ABC(如图1)中,∠BAC=78°,AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2).
(1)∠ABC= 30 °;
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.
参考值:sin78°≈0.98,cos78°≈0.21,tan78°≈4.7.
【变式1-3】(2019?镇江)如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:直线AB与⊙O相切;
(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO= .
【考点2】圆与相似综合问题
【例2】(2019?苏州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E、F.
(1)求证:DO∥AC;
(2)求证:DE?DA=DC2;
(3)若tan∠CAD=12,求sin∠
【变式2-1】(2019?泰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为AC的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,AB=8,求CE的长.
【变式2-2】(2020?吴江区二模)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,点E在圆外,OE⊥AC于D,BE交⊙O于点F,连接BD,BC,CF,∠BFC=∠AED.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)求证:△BOD∽△EOB;
(3)设△BOD的面积为S1,△BCF的面积为S2,若tan∠ODB=53,求
【变式2-3】(2020?江都区三模)如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB,AB,∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,交AB于点Q,若OP∥BC,且OP=6,⊙O的半径为2,求BC的长.
【考点3】圆与二次函数综合问题
【例3】(2020?东海县二模)如图,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1:y=13x2+73x上,点A的坐标为(﹣4,m),点B的坐标为(n,﹣2).(点
(1)则m= ,n= .
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△AOB,抛物线C2:y=ax2+bx+4经过A、B两点,延长OB交抛物线C2于点C,连接AC.设△OAC的外接圆为⊙M.
①求圆心M的坐标;
②试直接写出△OAC的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A、C除外).
【变式3-1】(2020?江都区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)经过原点O和(a,116)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M、N两点,M在N的左边.当△AMN为等腰三角形时,直接写出圆心P的横坐标.
【变式3-2】(2020?沭阳县模拟)如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(3,0),并且OA=OC=3OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上,
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,以线段EF的中点G为圆心,以EF为直径作⊙G,求⊙G最小面积.
【变式3-3】(2020?新北区一模)如图,二次函数y=-56x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(﹣3,0),以点A为圆心作圆A,与该二次函数的图象相交于点B,C,点B,C的横坐标分别为﹣2,﹣5,连接AB,AC,并且满足AB
(1)求该二次函数的关系式;
(2)经过点
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