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2023 年全国中学生数学奥林匹克(预赛)
暨2023 年全国高中数学联合竞赛
一试试题(A卷)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
| |
1.设复数 = 9 + 10((i 为虚数单位)，若正整数 n 满足 ≤ 2023，则 n 的最大值
为((((((((((( .
2.若正实数a ，b 满足 = 2, ∙ = 5.则()的值为(((((((((((( .
3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x 、y 、z ，则事件“
7 7
”发生的概率为((((((((((( .
7
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
| | | |
4.若平面上非零向量⃗，，⃗满足⃗ ⊥， ∙⃗ = 2 ⃗ ，⃗ ∙⃗ = 3||，则⃗ 的最小值
为((((((((((( .
5.方程sin = cos2的最小的20个正实数解之和为(((((((((((((((( .
2
6.设a ，b ，c 为正数，a b，若a 、b 为一元二次方程 − + = 0的两个根，且
a 、b、c 是一个三角形的三边长，则 + −的取值范围是((((((((((((((( .
2 2
7.平面直角坐标系xOy 中，已知圆Ω与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆Γ: + = 1(a((
2 2
b((0)内，且Ω与Γ有唯一的公共点(8,9).则Γ的焦距为((((((((((((( .
8.八张标有A 、B 、C、D 、E 、F 、G、H 的正方形卡片构成下图，现逐一取走这些卡片，
要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多有一张有公共边(例如可按 D 、A 、
B 、E 、C、F 、G、H 的次序取走卡片，但不可按D 、B 、A 、E 、C、F 、G、H 的次序取走卡
片)，则的不同次序的取走这八张卡片的不同次序的数目为(((((((((((((( .
A B
C D
E F G H
二、解答题：本大题共3 小题，满分56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
2
9.(本题满分16 分)( 平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ: = 4，F 为Γ的焦点，A 、B
为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点
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