2024年中考数学复习重难点(全国通用版)：专题17 二次函数中几何存在性的问题（重点突围）(解析版).docxVIP

专题17 二次函数中几何存在性的问题 【中考考向导航】 目录 TOC \o "1-3" \h \u 【直击中考】 1 【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】 1 【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】 8 【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】 16 【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】 23 【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】 33 【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】 42 【直击中考】 【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】 例题：（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴及顶点坐标 (3)在坐标轴是否存在一点．使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)直线， (3)或或或或或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵点，， ∴， ∴， 当时， 若点P在x轴上，点P与点B关于y轴对称， ∴此时点P的坐标为； 若点P在y轴上，或， ∴此时点P的坐标为或； 当时， 若点P在x轴上，或， ∴此时点P的坐标为或； 若点P在y轴上，点P与点B关于x轴对称， ∴此时点P的坐标为； 当时， 若点P在x轴上，连接，如图， 设点P的坐标为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 若点P在y轴上，连接，如图， 设点P的坐标为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上所述， 或或或或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，还涉及了求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入解析式，待定系数法求解析式，进而令，得出点的坐标； （2）若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上，如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接，勾股定理得出，即可得出点的坐标，进而根据中点坐标公式得出点的坐标，待定系数法求解析式求得直线的解析式，联立组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上， 如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接， 则，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， 设直线得到的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过，两点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长； (3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为；的周长最小值为 (3)存在符合条件的点，且坐标为，，，． 【分析】（1）把、代入抛物线解析式，即可求解； （2）连结交于，根据抛物线的对称性可得，从而得到，此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入抛物线解析式得： 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：当时，， ∴， 连结交于，如图， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时的周长最小， 设直线解析式为， 把，代入得： 解得：， ∴直线解析式为． 把代入得：， 则坐标为． ∵，，， ∴， ∴， 则的周长最小值． （3）解：存在，理由如下： 设， 已知，， 则，，， ①若，则， 即， 解得，． ②若，则， 得，， 解得，． ③若，则， 得，， 解得，，， 当时，，，三点共线，构不成三角形，不合题意，舍去． 综上可知，存在符合条件的