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本书共分为2部分:第1部分为历年真题及详解;第2部分为模拟试题及详解。(1)历年真题及详解部分:收录考研数学近年真题,并给出了详尽的答案解析。考生不但可以通过真题把握考研数学的命题规律和考查重点,而且还能培养解题思路。(2)模拟试题及详解部分:精选了3套模拟试题,且附有详尽解析。考生可通过模拟试题部分的练习,掌握最新考试动态,提前感受考场实战。
第一部分 历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)
1设f(x)=x2(x-1)(x-2),则f′(x)的零点个数为( )。
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D查看答案
【考点】导数的概念及四则运算法则
【解析】f′(x)=4x3+3x2-4x=x(4x2+3x-4)。令f′(x)=0,可得f′(x)有三个零点。
2如图1所示,曲线方程为y=f(x),函数在区间[0,a]上有连续导数,则定积分在几何上表示( )。
图1
A.曲边梯形ABOD面积
B.梯形ABOD的面积
C.曲边三角形ACD面积
D.三角形ACD面积
【答案】C查看答案
【考点】积分的几何意义
【解析】
其中af(a)是矩形面积,为曲边梯形的面积,所以为曲边三角形ACD的面积。
3在下列微分方程中,以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意的常数)为通解的是( )。
A.yamp;#8244;+y″-4y′-4y=0
B.yamp;#8244;+y″+4y′+4y=0
C.yamp;#8244;-y″-4y′+4y=0
D.yamp;#8244;-y″+4y′-4y=0
【答案】D查看答案
【考点】常微分方程特征值的解法
【解析】由y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x,可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i,故对应的特征值方程为
(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4
所以所求微分方程为yamp;#8244;-y″+4y′-4y=0。
4判定函数
间断点的情况( )。
A.有一个可去间断点,一个跳跃间断点
B.有一个可去间断点,一个无穷间断点
C.有两个跳跃间断点
D.有两个无穷间断点
【答案】A查看答案
【考点】函数间断点类型的判断
【解析】函数可能的间断点有x=0,x=1两个。
在x=0时,
故x=0是可去间断点。
在x=1时,
故x=1是跳跃间断点。
5设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是( )。
A.若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛
B.若{xn}单调,则{f(xn)}收敛
C.若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛
D.若{f(xn)}单调,则{xn}收敛
【答案】B查看答案
【考点】利用单调有界定理证明数列收敛
【解析】由函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界可知,若{xn}单调,则{f(xn)}单调有界。根据单调有界定理,进一步可得{f(xn)}收敛。
6设函数f(x)连续,
其中区域Duv如图2阴影部分所示,则amp;#8706;F/amp;#8706;u=( )。
A.vf(u2)
B.vf(u)
C.vf(u2)/u
D.vf(u)/u
图2
【答案】A查看答案
【考点】利用极坐标变换计算二重积分
【解析】利用极坐标,得
所以amp;#8706;F/amp;#8706;u=vf(u2)。
7设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵。若A3=O,则下列结论正确的是( )。
A.E-A不可逆,则E+A不可逆
B.E-A不可逆,则E+A可逆
C.E-A可逆,则E+A可逆
D.E-A可逆,则E+A不可逆
【答案】C查看答案
【考点】可逆的定义
【解析】(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E。故E-A,E+A均可逆。
8设
则在实数域上,与A合同的矩阵为( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】D查看答案
【考点】矩阵合同的判定、惯性定理
【解析】
则λ1=-1,λ2=3,记
则
则λ1=-1,λ2=3,矩阵A和矩阵D的正负惯性指数相同,故选D项。
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在题中横线上。)
9已知函数f(x)连续,且
则f(0)=______。
【答案】2查看答案
【考点】函数连续的概念、利用等价无穷小简化计算极限
【解析】因为函数f(x)连续,所以
所以f(0)=2。
10微分方程(y+x2e-x)dx-xdy=0的通解是______。
【答案】y=x(C-e-x)
【考点】微分方程通解的求法
【解析】对微分方程进行变形可得
此为一阶线性非齐次微分方程,通解为
11曲线sinxy+ln(y-x)=x在点(0,1)的切线方程为______。
【答案】y=x+1查看答案
【考点】导数的几何意义;已知曲线方程,求曲线在某点处的切线方程
【解析】由导数的几何意义可知,所求切线的斜率为k=y′|(x=0)。令f(x,y)=sinxy+ln(y-x)-x,则
所求切线方程为y=x+1。
12曲线y=(x-5)x2/3
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