考研数学（二）历年真题与模拟试题详解.pdf

第一部分　历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。） 1设f（x）＝x2（x－1）（x－2），则f′（x）的零点个数为（　　）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D查看答案 【考点】导数的概念及四则运算法则 【解析】f′（x）＝4x3＋3x2－4x＝x（4x2＋3x－4）。令f′（x）＝0，可得f′（x）有三个零点。 2如图1所示，曲线方程为y＝f（x），函数在区间[0，a]上有连续导数，则定积分在几何上表示（　　）。 图1 A．曲边梯形ABOD面积 B．梯形ABOD的面积 C．曲边三角形ACD面积 D．三角形ACD面积 【答案】C查看答案 【考点】积分的几何意义 【解析】 其中af（a）是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积。 3在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意的常数）为通解的是（　　）。 A．yamp;#8244;＋y″－4y′－4y＝0 B．yamp;#8244;＋y″＋4y′＋4y＝0 C．yamp;#8244;－y″－4y′＋4y＝0 D．yamp;#8244;－y″＋4y′－4y＝0 【答案】D查看答案 【考点】常微分方程特征值的解法 【解析】由y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x，可知其特征根为λ1＝1，λ2，3＝±2i，故对应的特征值方程为 （λ－1）（λ＋2i）（λ－2i）＝（λ－1）（λ2＋4）＝λ3－λ2＋4λ－4 所以所求微分方程为yamp;#8244;－y″＋4y′－4y＝0。 4判定函数 间断点的情况（　　）。 A．有一个可去间断点，一个跳跃间断点 B．有一个可去间断点，一个无穷间断点 C．有两个跳跃间断点 D．有两个无穷间断点 【答案】A查看答案 【考点】函数间断点类型的判断 【解析】函数可能的间断点有x＝0，x＝1两个。 在x＝0时， 故x＝0是可去间断点。 在x＝1时， 故x＝1是跳跃间断点。 5设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（　　）。 A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛 B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛 C．若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛 D．若{f（xn）}单调，则{xn}收敛 【答案】B查看答案 【考点】利用单调有界定理证明数列收敛 【解析】由函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界可知，若{xn}单调，则{f（xn）}单调有界。根据单调有界定理，进一步可得{f（xn）}收敛。 6设函数f（x）连续， 其中区域Duv如图2阴影部分所示，则amp;#8706;F/amp;#8706;u＝（　　）。 A．vf（u2） B．vf（u） C．vf（u2）/u D．vf（u）/u 图2 【答案】A查看答案 【考点】利用极坐标变换计算二重积分 【解析】利用极坐标，得 所以amp;#8706;F/amp;#8706;u＝vf（u2）。 7设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3＝O，则下列结论正确的是（　　）。 A．E－A不可逆，则E＋A不可逆 B．E－A不可逆，则E＋A可逆 C．E－A可逆，则E＋A可逆 D．E－A可逆，则E＋A不可逆 【答案】C查看答案 【考点】可逆的定义 【解析】（E－A）（E＋A＋A2）＝E－A3＝E，（E＋A）（E－A＋A2）＝E＋A3＝E。故E－A，E＋A均可逆。 8设 则在实数域上，与A合同的矩阵为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D查看答案 【考点】矩阵合同的判定、惯性定理 【解析】 则λ1＝－1，λ2＝3，记 则 则λ1＝－1，λ2＝3，矩阵A和矩阵D的正负惯性指数相同，故选D项。 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。） 9已知函数f（x）连续，且 则f（0）＝______。 【答案】2查看答案 【考点】函数连续的概念、利用等价无穷小简化计算极限 【解析】因为函数f（x）连续，所以 所以f（0）＝2。 10微分方程（y＋x2e－x）dx－xdy＝0的通解是______。 【答案】y＝x（C－e－x） 【考点】微分方程通解的求法 【解析】对微分方程进行变形可得 此为一阶线性非齐次微分方程，通解为 11曲线sinxy＋ln（y－x）＝x在点（0，1）的切线方程为______。 【答案】y＝x＋1查看答案 【考点】导数的几何意义；已知曲线方程，求曲线在某点处的切线方程 【解析】由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k＝y′|（x＝0）。令f（x，y）＝sinxy＋ln（y－x）－x，则 所求切线方程为y＝x＋1。 12曲线y＝（x－5）x2/3