考研数学（一）历年真题与模拟试题详解.pdf

第一部分　历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。） 1设函数 则f′（x）的零点个数为（　　）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B查看答案 【考点】函数求导公式 【解析】由题意得f′（x）＝2xln（2＋x2），且ln（2＋x2）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。 2函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（　　）。 A．i(→) B．－i(→) C．j(→) D．－j(→) 【答案】A查看答案 【考点】梯度的定义和求法 【解析】由梯度定义得 3在下列微分方程中，y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解的是（　　）。 A．yamp;#8244;＋y″－4y′－4y＝0 B．yamp;#8244;＋y″＋4y′＋4y＝0 C．yamp;#8244;－y″－4y′＋4y＝0 D．yamp;#8244;－y″＋4y′－4y＝0 【答案】D查看答案 【考点】齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解 【解析】因为y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ3－λ2＋4λ－4＝0。故微分方程为yamp;#8244;－y″＋4y′－4y＝0。 4设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（　　）。 A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛 B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛 C．若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛 D．若{f（xn）}单调，则{xn}收敛 【答案】B查看答案 【考点】极限收敛的单调有界定理 【解析】对于B项，若{xn}单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界知，{f（xn）}单调有界，从而收敛。故选择B项。 5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（　　）。 A．E－A不可逆，E＋A不可逆 B．E－A不可逆，E＋A可逆 C．E－A可逆，E＋A可逆 D．E－A可逆，E＋A不可逆 【答案】C查看答案 【考点】矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则 【解析】由A3＝O得，A3＋E＝Eamp;#8658;（A＋E）（A2－A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A3＝O得，A3－E＝－Eamp;#8658;（E－A）（A2＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。 6设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（　　）。 图1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B查看答案 【考点】考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系 【解析】图1为双叶双曲面，其方程的标准型为 在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。 7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（　　）。 A．F2（x） B．F（x）F（y） C．1－[1－F（x）]2 D．[1－F（x）][1－F（y）] 【答案】A查看答案 【考点】分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质 【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则 FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x） 8设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρXY＝1，则（　　）。 A．P{Y＝－2X－1}＝1 B．P{Y＝2X－1}＝1 C．P{Y＝－2X＋1}＝1 D．P{Y＝2X＋1}＝1 【答案】D查看答案 【考点】考查相关系数的相关概念 【解析】方法一：已知1＝ρXY，则X，Y正相关，排除A、C两项。由题意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B项。因此，选择D项。 方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρXY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝ax＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1。而 得a＝2，因此，选择D项。 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。） 9微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解是y＝______。 【答案】1/x查看答案 【考点】用分离变量法求解微分方程 【解析】xy′＋y＝0amp;#8658;y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为任意常数