首都师范大学数学科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解.pdf

2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题 2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解一、单项简答题（共20题60分，每题3分） 第1组 设c1，c2，…，cn是非零常数，给定总体N（μ，σ2）的样本X1，X2，…，Xn，写出 1．样本均值的数学期望， 答： 2样本均值的方差， 答： 3样本均值服从的分布， 答： 4样本方差的数学期望， 答： 5服从的分布， 答： 6服从的分布， 答： 7服从的分布， 答： 8服从的分布， 答： 9（μ，σ2）的最大似然估计， 答：， 10θ＝2μ的最大似然估计。 答： 第2组 设EX＝μ，σ2＝Var（X），X1，X2，…，Xn是总体X的样本。对于较大的n，简答以下问题。 11．X1＋X2＋…＋Xn的近似分布， 答：n足够大时，Xi独立同分布。EX＝μ，σ2＝Var（X）由中心极限定理知：（X1＋X2＋…＋Xn）～N（nμ，nσ2）。 12μ的矩估计， 答： 13σ2的矩估计， 答： 14当EX4＜∞，X12＋X22＋…＋Xn2的近似分布， 答：由中心极限定理，X12＋X22＋…＋Xn2服从卡方分布。 15当X服从泊松分布，X1＋X2＋…＋Xn服从的分布， 答：独立同分布，；， 16当X服从泊松分布，μ的最大似然估计， 答：X服从泊松分布：。则 μ的最大似然估计为。 17当X服从二项分布B（m，P），X1＋X2＋…＋Xn服从的分布， 答： 18当X服从二项分布，μ的最大似然估计， 答：μ的最大似然估计为。 19当X在[a，b]中均匀分布，a，b的最大似然估计， 答：， 构造似然函数： 令 又；所以，，对于任意a，b，有 所以，在，时取得最大值 此时 a，b的极大似然估计量为：，。 20当X服从指数分布，λ＝1/μ的最大似然估计。 答： 构造似然函数： 取对数： 求导数： 得到，则 二、简要回答下列问题（本大题4个小题，每小题10分，共40分） 1在评价一种治疗高血压的磁疗手表时，调查了100位刚开始使用这种手表的高血压患者，他们中有75人回答磁疗手表对降低高血压有效，能否认为这种磁疗手表对高血压的治疗效率是75%？ 答：首先，要得出治疗效果的概率需要大样本调查下的出的数据才可以得到相应结果。不能进行一次调查就得出结论。 其次，应当分地区、分人群、分年龄进行分层调查，而不是随机调查各个个体。 所以仅仅进行100位患者的调查便得出这种磁疗手表对高血压的治疗效率是75%是不科学的。 2在调查某个县城的家庭年平均收入时，能否只在该市的娱乐场所（如电影院、歌剧院、游乐场、健身馆等）进行随机抽样？原因是什么？能否只在该市的公共汽车站进行随机抽样？原因是什么？ 答：（1）不能只在娱乐场所（如电影院、歌剧院、游乐场、健身馆等）进行随机抽样。随机抽样也称概率抽样，是指遵循随机原则进行的抽样，要保证总体中每个单位都有一定的机会被选入样本。在调查某个县城的家庭年平均收入时，如果只在娱乐场所（如电影院、歌剧院、游乐场、健身馆等）进行随机抽样，抽选的样本具有一定的特殊性，一般来说，经常去这些场所的人群收入普遍较高，因此抽选的样本不具有代表性。这样也不能保证该县城中每个人被抽中的机会均等，最终所得到的样本数据不能用于对总体目标量进行估计。 （2）不能只在该市的公共汽车站进行随机抽样，这种方法仍然不能很好地保证样本的代表性。选择公共汽车站，就意味着忽略了乘坐其他交通工具和不乘坐交通工具的人群。所得结果仍然不合理。 3甲的手机在等待下一个短信的到来，如果从任何时间t开始，在充分小的时间段（t，t＋s）内得到一条短信的概率与s成正比，你认为该手机对于短信的等待时间服从什么分布？为什么？ 答：该手机对于短信的等待时间服从指数分布。指数分布具有无记忆性。即如果从任何时间t开始，在充分小的时间段（t，t＋s）内得到一条短信的概率与s成正比，而与t无关。 指数分布的密度函数为 证明无记忆性，只要证明，有 容易计算 当s很小时，有 所以在充分小的时间段（t，t＋s）内得到一条短信的概率为： 与s成正比。 4什么是假设检验的第一和第二类错误？ 答：假设检验中所犯的错误有两种类型，第一类错误是原假设H0为真却被拒绝了，犯这种错误的概率用α表示，所以也称α错误或弃真错误；第二类错误是原假设为伪却没有拒绝，犯这种错误的概率用β表示，所以也称β错误或取伪错误。 对于一定的样本量n，不能同时做到犯这两类错误的概率都很小。如果减小α错误，就会增大犯β错误的机会；若减小β错误，也会增大犯α错误的机会。若要使α和β同时变小，就要增大样本量。 三、计算与分析题（本大题包括3个小题，第1小题和第2小题每题20分，第3