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演示文稿动力学方程拉格朗日方程 当前第1页\共有29页\编于星期二\10点 （优选）动力学方程拉格朗日方程 当前第2页\共有29页\编于星期二\10点 以 点乘上式后，再对 i 取和，得 理想约束条件下： 则 这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯—— 拉格朗日方程，由于存在约束，各 并不彼此独立，因此 不能令上式中 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由 质点的运动微分方程了。 当前第3页\共有29页\编于星期二\10点 二、基本形式的拉格朗日方程 现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 用各彼此独立的广义坐标 重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程—拉格朗日方程。 设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数 应为 s＝3n－k。以广义坐标 表出 则 代入达朗伯－拉格朗日方程 当前第4页\共有29页\编于星期二\10点 上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则 令 则 当前第5页\共有29页\编于星期二\10点 因各 ? q? 互相独立，所以 P?＝Q? 改写 由 当前第6页\共有29页\编于星期二\10点 令 显然 T 是体系的动能，则有 即 这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日 方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标 q?＝q?(t)， 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q? 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1，Q2，…，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学 方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。 当前第7页\共有29页\编于星期二\10点 三、广义动量与广义力的计算 对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量 与此类比，可以定义广义动量 p? 为 注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等， 视广义坐标的选择而定。 而广义力： 广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。 当前第8页\共有29页\编于星期二\10点 1、从主动力所作的虚功来计算 如求Q1，令? q2＝? q3＝…＝? q s＝0，则 当前第9页\共有29页\编于星期二\10点 2、从定义式直接计算 求任一广义力Q?时 当前第10页\共有29页\编于星期二\10点 [例3] 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力，广义坐标 q1＝r，q2＝? 。与此两 广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q? 。求 Q r与Q? , 用两种方法。 解 方法一： 从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则 又因 x＝ r cos?，y＝r sin? 当前第11页\共有29页\编于星期二\10点 则 可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。 另外 当前第12页\共有29页\编于星期二\10点 上式括号中的第一项为 Fx 在 方向的投影，第二项 是 Fy在 方向的投影。 所以两者之和就是 在 方向的投影 F? ，因此 Q?＝ r F?（是力矩） 可见广义力的横向分量 Q? 是力矩。 当前第13页\共有29页\编于星期二\10点 方法二：从主动力 所作的虚功来计算 则 当前第14页\共有29页\编于星期二\10点 则 两种方法的结果一致 当前第15页\共有29页\编于星期二\10点 四、保守力学系的拉格朗日方程 实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。 对于保守力学系，存在势能 则对任一个质点有 分量式为 当前第16页\共有29页\编于星期二\10点 现在把广义力与势能函数连系起来 代入基本形式的拉格朗日方程，则 当前第17页\共有29页\编于星期二\10点 注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即 V＝V（x1，y1，z1，…，x n，y n，z n）＝V（q1，q2，…，q s） 则 令 L＝T－V ，则 与 代入最顶上一式： L＝T－V 叫拉格朗日函数。一般 L 是广义坐标，广义速度 和时间的函数。 当前第18页\共有29页\编于星期二\10点 即 简记为 而 仍是广义动量。 这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。