2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国,高中数学联合竞赛加试试题(A卷)（含参考答案及评分标准）.pdf

2023 年全国中学生数学奥林匹克(预赛) 暨2023 年全国高中数学联合竞赛 加试试题(A卷) 一、(本题满分40分)如图，Ω是以AB 为直径的固定的半圆弧，ω是经过点A 及Ω上另 ̂ 一定点T 的定圆，且ω的圆心位于△ABT 内，设P 是Ω的弧(不含端点)上的动点，C、D 是ω上的两动点，满足：C 在线段AP 上，C、D 在直线AB 的异侧，且CD⊥AB.记△CDP 的外心为K.证明： (1)点K 在△TDP 的外接圆上； (2)K 为定点. (答题时请将图画在答卷纸上) T P C A B D 二、(本题满分 40 分)正整数 n 称为“好数”，如果对任意不同于 n 的正整数m，均有 2 2 { } { } ≠ { }，这里 表示x 的小数部分. 2 2 证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数. 三、(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数k：若将1,2，…，k 中的每个数任意 染成红色或蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数 , , ⋯, 满足 + +⋯+ 1 2 9 1 2 8 ，或者存在10个互不相同的蓝色的数 , , ⋯, 满足 + +⋯+ . 9 1 2 10 1 2 9 10 −4 四、(本题满分50分)设 = 1+ 10 .在2023×2023 的方格表的每一个小方格中填入区 间[1，]中的一个实数.设第i行的总和为 ，第i 列的总和为 ，1 ≤ ≤ 2023. ⋯ 求 1 2 2023的最大值(答案用含a 的式子表示). ⋯ 1 2 2023 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2023 年全国高中数学联合竞赛 加试（A 卷）参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2 ．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一．（本题满分40 分）如图， 是以 为直径的固定的半圆弧， 是经过  AB   点 及 上另一个定点 的定圆，且 的圆心位于 内．设 是 的弧 A  T  ABT P  TB （不含端点）上的动点，C, D 是 上的两个动点，满足： 在线段 上，C, D  C AP 位于