考研数学（三）历年真题与模拟试题详解.pdf

第一部分　历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。） 1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（　　）。 A．跳跃间断点 B．可去间断点 C．无穷间断点 D．振荡间断点 【答案】B查看答案 【考点】函数间断点的类型 【解析】 首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。 第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中： ①跳跃型间断点： ②可去型间断点： 第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中： ①无穷型间断点：与至少有一个为∞； ②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。 由于题设中g（0）不存在，故x＝0是函数g（x）的可去间断点。 2如图1，曲线段的方程为y＝f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于（　　）。 图1 A．曲边梯形ABOD的面积 B．梯形ABOD的面积 C．曲边三角形ACD的面积 D．三角形ACD的面积 【答案】C查看答案 【考点】积分的几何意义 【解析】 而表示曲边梯形OBAD的面积，故表示曲边三角形ACD的面积。 3已知 则函数在原点偏导数存在的情况是（　　）。 A．fx′（0，0），fy′（0，0）都存在 B．fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在 C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在 D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在 【答案】B查看答案 【考点】二元函数的偏导数的定义 【解析】由偏导数的定义知 不存在； 存在。 4设函数f（x）连续， 其中区域Duv为图2中阴影部分，则amp;#8706;F/amp;#8706;u＝（　　）。 图2 A．vf（u2） B．vf（u2）/u C．vf（u） D．vf（u）/u 【答案】A查看答案 【考点】利用极坐标变换计算二重积分 【解析】利用极坐标，得 所以amp;#8706;F/amp;#8706;u＝vf（u2）。 5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（　　）。 A．E－A不可逆，E＋A不可逆 B．E－A不可逆，E＋A可逆 C．E－A可逆，E＋A可逆 D．E－A可逆，E＋A不可逆 【答案】C查看答案 【考点】矩阵可逆的判定 【解析】A3＝Oamp;#8658;A3＋E＝Eamp;#8658;（A＋E）（A2－A＋E）＝E，则A＋E可逆，A3＝Oamp;#8658;A3－E＝－Eamp;#8658;（E－A）（A2＋A＋E）＝E，即E－A可逆。 6设，则实数域上与A合同的矩阵是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D查看答案 【考点】矩阵合同的判定 【解析】由题意易知为实对称矩阵，进而得A的特征值为－1，3，则xTAx的正负惯性指数分别为1，1。可以求出选项中各矩阵的特征值，的特征值为－1，－3；的特征值为1，3；的特征值为1，3；的特征值为－1，3，知只有D项中矩阵符合。 7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（　　）。 A．F2（x） B．F（x）F（y） C．1－[1－F（x）]2 D．[1－F（x）][1－F（y）] 【答案】A查看答案 【考点】求分布函数 【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则 FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x） 8随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），相关系数ρXY＝1，则（　　）。 A．P{Y＝－2X－1}＝1 B．P{Y＝2X－1}＝1 C．P{Y＝－2X＋1}＝1 D．P{Y＝2X＋1}＝1 【答案】D查看答案 【考点】相关系数及其性质 【解析】方法一：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρXY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝aX＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1，而 得a＝2，故应选D项。 方法二：本题利用排除法。由ρXY＝1，可知X，Y正相关，排除A、C、B项。若Y＝2X－1，由EX＝0，得到EY＝－1，排除B，可知应选D。 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。） 9设函数 在（－∞，＋∞）上连续，则c＝______。 【答案】1查看答案 【考点】函数连续性的判定 【解析】由题意知， f（c）＝c2＋1，若 则c＝1。 10设函数f[x＋（1/x）]＝（x＋x3