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本书共分为2部分:第1部分为历年真题及详解;第2部分为模拟试题及详解。(1)历年真题及详解部分:收录考研数学近年真题,并给出了详尽的答案解析。考生不但可以通过真题把握考研数学的命题规律和考查重点,而且还能培养解题思路。(2)模拟试题及详解部分:精选了3套模拟试题,且附有详尽解析。考生可通过模拟试题部分的练习,掌握最新考试动态,提前感受考场实战。
第一部分 历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)
1设函数f(x)在区间[-1,1]上连续,则x=0是函数的( )。
A.跳跃间断点
B.可去间断点
C.无穷间断点
D.振荡间断点
【答案】B查看答案
【考点】函数间断点的类型
【解析】
首先利用间断点的定义确定该点为间断点,然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点:x=x0为函数f(x)的间断点,且与均存在,则称x=x0为函数f(x)的第一类间断点,其中:
①跳跃型间断点:
②可去型间断点:
第二类间断点:x=x0为函数f(x)的间断点,且与之中至少有一个不存在,则称x=x0为函数f(x)的第二类间断点,其中:
①无穷型间断点:与至少有一个为∞;
②振荡型间断点:或为振荡型,极限不存在。
由于题设中g(0)不存在,故x=0是函数g(x)的可去间断点。
2如图1,曲线段的方程为y=f(x),函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则定积分等于( )。
图1
A.曲边梯形ABOD的面积
B.梯形ABOD的面积
C.曲边三角形ACD的面积
D.三角形ACD的面积
【答案】C查看答案
【考点】积分的几何意义
【解析】
而表示曲边梯形OBAD的面积,故表示曲边三角形ACD的面积。
3已知
则函数在原点偏导数存在的情况是( )。
A.fx′(0,0),fy′(0,0)都存在
B.fx′(0,0)不存在,fy′(0,0)存在
C.fx′(0,0)存在,fy′(0,0)不存在
D.fx′(0,0),fy′(0,0)都不存在
【答案】B查看答案
【考点】二元函数的偏导数的定义
【解析】由偏导数的定义知
不存在;
存在。
4设函数f(x)连续,
其中区域Duv为图2中阴影部分,则amp;#8706;F/amp;#8706;u=( )。
图2
A.vf(u2)
B.vf(u2)/u
C.vf(u)
D.vf(u)/u
【答案】A查看答案
【考点】利用极坐标变换计算二重积分
【解析】利用极坐标,得
所以amp;#8706;F/amp;#8706;u=vf(u2)。
5设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=O,则( )。
A.E-A不可逆,E+A不可逆
B.E-A不可逆,E+A可逆
C.E-A可逆,E+A可逆
D.E-A可逆,E+A不可逆
【答案】C查看答案
【考点】矩阵可逆的判定
【解析】A3=Oamp;#8658;A3+E=Eamp;#8658;(A+E)(A2-A+E)=E,则A+E可逆,A3=Oamp;#8658;A3-E=-Eamp;#8658;(E-A)(A2+A+E)=E,即E-A可逆。
6设,则实数域上与A合同的矩阵是( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】D查看答案
【考点】矩阵合同的判定
【解析】由题意易知为实对称矩阵,进而得A的特征值为-1,3,则xTAx的正负惯性指数分别为1,1。可以求出选项中各矩阵的特征值,的特征值为-1,-3;的特征值为1,3;的特征值为1,3;的特征值为-1,3,知只有D项中矩阵符合。
7设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为( )。
A.F2(x)
B.F(x)F(y)
C.1-[1-F(x)]2
D.[1-F(x)][1-F(y)]
【答案】A查看答案
【考点】求分布函数
【解析】由X,Y独立同分布知,Y的分布函数也为F(x)。记Z的分布函数为FZ(x),则
FZ(x)=P{max{X,Y}≤x}=P{X≤x,Y≤x}=P{X≤x}P{Y≤x}(X与Y独立)=F2(x)
8随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),相关系数ρXY=1,则( )。
A.P{Y=-2X-1}=1
B.P{Y=2X-1}=1
C.P{Y=-2X+1}=1
D.P{Y=2X+1}=1
【答案】D查看答案
【考点】相关系数及其性质
【解析】方法一:由X~N(0,1),Y~N(1,4)知EX=0,DX=1,EY=1,DY=4。由于ρXY=1,所以存在常数a,b,使得P{Y=aX+b}=1,从而EY=aEX+b,得b=1,而
得a=2,故应选D项。
方法二:本题利用排除法。由ρXY=1,可知X,Y正相关,排除A、C、B项。若Y=2X-1,由EX=0,得到EY=-1,排除B,可知应选D。
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在题中横线上。)
9设函数
在(-∞,+∞)上连续,则c=______。
【答案】1查看答案
【考点】函数连续性的判定
【解析】由题意知,
f(c)=c2+1,若
则c=1。
10设函数f[x+(1/x)]=(x+x3
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