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等差数列
编稿:张林娟 审稿:孙永钊
【学习目标】
理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,了解等差数列与一次函数的关系;
理解等差数列的性质,并会用性质灵活解决问题;体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系的联系,能用二次函数的知识解决数列问题.
能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
【学习策略】
数列是特殊的函数,类比一次函数、二次函数等有关知识,研究等差数列的通项公式及前n 项和公式的性质特点.
注意方程思想的应用:等差数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及a
1
、n 、d 、a
n
、S 五个量,
n
已知其中任意三个量,通过解方程或者方程组,便可求出其余两个量.
【要点梳理】
要点一:等差数列的定义文字语言形式
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.
要点诠释:
⑴公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
⑵共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数d (即公差);符号语言形式
对于数列{a },若a ? a ? d ( n ? N , n ? 2 , d 为常数)或a ? a ? d ( n ? N , d 为常数),
n n n?1 ? n?1 n ?
则此数列是等差数列,其中常数d 叫做等差数列的公差.
要点诠释:定义中要求“同一个常数d ”,必须与n 无关. 等差中项
如果a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做a 与b 的等差中项,即 A ?
a ? b
2 .
要点诠释:
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数a,b 的等差中项存在且唯一.
②三个数a , A , b 成等差数列的充要条件是 A ?
要点二:等差数列的通项公式等差数列的通项公式
a ? b
2 .
首相为a
1
,公差为d 的等差数列{a
n
}的通项公式为:
推导过程:
归纳法:
根据等差数列定义a ? a ? d 可得: a ? a ? d ,
n n?1 n n?1
∴ a ? a
2 1
d ? a
1
? (2 ?1)d ,
a ? a
3 2
d ? (a
1
d ) ? d ? a
1
2d ? a
1
? (3 ?1)d ,
a ? a
4 3
d ? (a
1
? 2d ) ? d ? a
1
3d ? a
1
? (4 ?1)d ,
……
当 n=1 时,上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为: a
n
叠加法:
? a ? (n ? 1)d ( n ? N
1
?).
根据等差数列定义a ? a ? d ,有:
n n?1
a ? a
2 1
a ? a
? d ,
? d ,
3 2
a ? a
4 3
…
? d ,
把这n ?1个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得a ? a
n 1
? (n ?1)d ,
∴ a ? a
n 1
? (n ?1)d .
(3)迭代法:
∴ a ? a
n 1
? (n ?1)d .
要点诠释:
①通项公式由首项a
1
和公差d 完全确定,一旦一个等差数列的首项和公差确定,该等差数列就唯一确
定了.
②通项公式中共涉及a
1
、 n 、d 、 a
n
四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个
量.
等差数列通项公式的推广
已知等差数列{a
n
}中,第m 项为a
m
,公差为d ,则:
证明:∵ a
n
? a ? (n ?1)d , a
1 m
? a ? (m ?1)d
1
∴ a ? a
n m
? [a
1
? (n ?1)d ] ?[a
1
? (m ?1)d ] ? (n ? m)d
∴ a ? a
n m
(n ? m)d
由上可知,等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示,公式a
n
成是m ? 1时的特殊情况.
要点三:等差数列的性质
? a ? (n ?1)d 可以看
1
等差数列{a
n
}中,公差为d ,则
①若m, n, p, q ? N ,且m ? n ? p ? q ,则a ? a ? a ? a ,
m n p q
特别地,当m ? n ? 2 p 时a ? a
m n
? 2a .
p
②下标成公差为m 的等差数列的项a , a , a ,…组成的新数列仍为等差数列,公差为md .
k k ?m k ?2m
③若数列?b
n
?也为等差数列,则?a
n
? b ?,?ka
n n
? b?,(k,b
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