综合解一元二次方程换元法.docx

,. ,. 2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得 容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例 1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 （3）（x2+x）2+（x2+x）=6． 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法 （1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可； ∴x===，解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3 ∴x= = = ， ∴x1 ∴x1=3，x2=﹣ ； （2）整理得，（x+5）2= ， 开方得，x+5=± ，即 x1=﹣4 ，x2=﹣5 ，（3）设 t=x2+x，将原方程转化为 t2+t=6， 因式分解得，（t﹣2 开方得，x+5=± ， 即 x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 解得t1=2，t2=﹣3． ∴x2+x=2 或x2+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为 x1=1，x2=﹣2． 例 2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5 （2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注 （2） ． 先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解． 先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可． 解：（1）x2+2x﹣8=0， （x+4）（x﹣2）=0 ∴x1=﹣4，x2=2． （2）设x2﹣x=y ∴原方程化为 y﹣ =1∴y ∴原方程化为 y﹣ =1 ∴y2﹣y﹣2=0 ,. ∴（y+1）（y﹣2）=0 ∴y1=﹣1，y2=2 ∴x2﹣x=﹣1 或x2﹣x=2 解 x2﹣x=﹣1 知：此方程无实数根． 解 x2﹣x=2 知 x1=2，x2=﹣1； ∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1． 例 3．解下列方程： （1）2x2+5x﹣3=0 （2）（3﹣x）2+x2=9 （3）2（x﹣3）2=x（x﹣3） （4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0 例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后， 方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答． 先移项，然后把x2﹣9 因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可． 先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可． 把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答． 解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以 2x﹣1=0 或 x+3=0， ,. 解得，x= 或 x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9= 解得，x= 或 x=﹣3； 变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0， 因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0， 解得，x=3 或 x=0； （3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0， 因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0， 解得 x=3 或 x=6； （4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0 解得 x=3 或 x=4． 例 4．阅读下面材料：解答问题 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设 x2 ∴x=±；当 y=4 时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为 x1=，x2=﹣，﹣1=y，那么原方程可化为 y2﹣5y+4=0，解得 y1=1，y2=4．当 ∴x=± ；当 y=4 时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为 x1= ，x2=﹣ ， x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣ x3= ，x4=﹣ ． 例题分析：此题考查了