第六届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析 .pdf

第六届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷 一、填空题（共有5 小题，每小题6 分，共30 分） 1. 已知y ex 和y xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程是 。 1 2 r 1 【解析】：由解的表达式可知微分方程对应的特征方程有二重根 ，故所求微分方程为   y (x) 2y (x) y (x) 0 。 2. 设有曲面S : z x 2 2y 2 : 2x 2y z 0  和平面 ，则与 平行的 S 的切平面方程 是 。 P (x , y , z ) P 【解 析 】：设 是 S 上 一 点 ，则 S 在 点 的切 平 面 方程 为 0 0 0 0 0 2x (x x ) 4y (y y ) (z z ) 0 。由于该切平面与已知平面 L 平行，则 0 0 0 0 0 (2x , 4y ,1) 平行于(2, 2,1) ，故存在常数k 0 ，使得(2x , 4y ,1) k (2,2,1) ，故得 0 0 0 0 1 3 3 x 1, y  , z  ，所以切平面方程为2x 2y z  0 。 0 0 2 0 2 2 t dy   y y (x ) y x 2  3. 设 由x  sin dt 所确定，则 。   4 dx 1   x 0 【 解 析 】 ： 易 知 y (0) 1 ， 两 边 对 变 量 x 求 导 ， 则     2 2   x 0 y 3 I sin (y x) (y 1) y csc (y x) 1把 代入可得 。 