知识讲解空间点线面的位置关系.docx

如果对你有帮助，请下载使用！ 如果对你有帮助，请下载使用！ PAGE PAGE 2 空间点线面的位置关系 【考纲要求】 编稿：孙永钊 审稿: 张林娟 理解空间直线、平面位置关系的定义； 了解可以作为推理依据的公理和定理； 能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 平面 平面 三个公理、三个推论 平行直 空间两条直 异面直 公理 4 及等角定理 异面直线所成的角 空间点线面位置关系 相交直 异面直线间的距离 直线在平面内 概念 空间直 线与平面 直线与平面平行 直线与平面相交 垂 三垂线定理 两个平面平行 斜 直线与平面所成的角 空间两 个平面 两个平面相交 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 公理 1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； 公理 2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； 公理 3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论： 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合。 考点二、直线与直线的位置关系 位置关系的分类 异面直线所成的角 ①定义：设 a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线a’∥a,b’∥b,把 a’与 b’ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与 b 所成的角（或夹角）. ? ? ? ②范围： ? 0， ? ? 2 ? 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发， 经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经 常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图： 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 位置关系直线 a 位置关系 直线 a 在平面α 内 直线 a 与平面α 相交 直线 a 与平面α 平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 符号表示 图形表示 2、两个平面的位置关系 位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平 0 行 有无数个公共点 斜交 两平面相 在一条直线上 交 有无数个公共点 垂直 在一条直线上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。要点诠释： 以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力； 通过判断位置关系，考查空间想象能力； 应用公理、定理证明点共线、线共面等问题； 多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。 【典型例题】 类型一、异面直线的判定 例 1 如图所示，正方体 ABCD-A B C D 中， M、N 分别是 A B 、B C 的中点。问： 1 1 1 1 1 1 1 1 （1）AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；（2）D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由。