知识讲解复数.docx

如果对你有帮助，请下载使用！ 如果对你有帮助，请下载使用！ PAGE PAGE 1 高考总复习：复数 编稿：孙永钊 审稿：张林娟 【考纲要求】 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将 复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、复数的有关概念 虚数单位i : （1）它的平方等于?1，即i2  ? ?1； （2）i 与－1 的关系: i 就是－1 的一个平方根，即方程x2 ?i ； ? ?1 的一个根，方程x2 ? ?1 的另一个根是 （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4） i 的周期性： i 4n ? 1 ， i 4n?1 ? i ， i 4n?2 ? ?1 ， i 4n?3 ? ?i （ n ? N * ）. 概念 形如a ? bi （ a, b ? R ）的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部。说明：这里a, b ? R 容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N 复数与实数、虚数、纯虚、0 的关系： 对于复数 z ? a ? bi （ a, b ? R ）， 当且仅当b ? 0 时，复数 z ? a ? bi ? a 是实数； 当且仅当b ? 0 时，复数 z ? a ? bi 叫做虚数； 当且仅当a ? 0 且b ? 0 时，复数 z ? a ? bi ? bi 叫做纯虚数； 当且仅当a ? b ? 0 时，复数 z ? a ? bi ? 0 就是实数 0. 所以复数的分类如下: Z Q R C ?实数(b ? 0) ； z ? a? b（ia, b ? R ） ? ? ?虚数(b ? 0) ? 当a ? 0且b ? 0时为纯虚数 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果a, b, c, d ? R ，那么a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d . 特别地: a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 . 应当理解: 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. 复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小； 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数 z ? a ? bi 和 z ? a ? bi ? a ? bi （ a, b ? R ）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即a ? bi （ a, b ? R ），把复数表示成a ? bi 的形式，叫做复数的代数形式。 四则运算 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ； (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ； a ? bi 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：  ? (a ? bi)(c ? di) ??  ac ? bd  bc ? ad i 。 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2 考点三：复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴： 点 Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ? a ? bi （ a, b ? R ）可用点Z (a, b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0) ，它所确定的复数是 z ? 0 ? 0i ? 0 表示是实数。故除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 复数 z ? a ? bi ??一一?对??应 复平面内的点Z (a, b) 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一 个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的几何表示 坐标表示:在复平面内以点Z (a, b) 表示复数 z ? a ? bi （ a, b ? R ）； 向量表示:以原点O 为起点，点 Z (a, b) 为终点的向量OZ 表