知识讲解《平面向量》全章复习与巩固基础分析解析.docx

《平面向量》全章复习与巩固 编稿：孙永钊 审稿：王静伟 【学习目标】 平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何 表示； 向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义； 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一 种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：向量的有关概念 1.向量： 既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法： 字母表示法：如a, b, c, 等. 几何表示法：用一条有向线段表示向量.如 AB ， CD 等. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为?x, y?，则 ?x, y?称为OA 的坐标，记为OA = ?x, y?. 3.相等向量： 长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a 与b 相等，记为a ? b . 4.零向量： 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量： 长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定： 0 与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 运 算图形语言 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 OA + OB = OC ??? ??? ??? 记OA =(x ，y )， OB =(x ，y ) ??? ??? 1 1 2 2 OB ? OA = AB ??? ??? ??? 则OA?OB=(x +x ，y +y ) 1 2 1 2 OB?OA=(x -x ，y -y ) 2 1 2 1 OA + AB = OB ??? ??? ??? 实数与向量的乘积 ??? AB ? a ? ? 记 a =(x，y) ? ? ? R 则? a ? ??x，? y ? ? 两个向量的数量积 a?b ? a ? b cos a,b 记a ? (x , y ),b ? (x , y ) 1 1 2 2 则 a? b =x x +y y 1 2 1 2 ? ? 运算律加法： ① a ? b ? b ? a (交换律)； ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (结合律) 实数与向量的乘积： ① ?(a ?b) ? ?a ??b ； ②(???)a ??a??a；③ ?(? a) ? (??)a 两个向量的数量积： ? ? ? ? ① a · b = b · a ； ②(  ? ? ? ?a )· b = a ·( ?  b )= ?  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a · b )；③( a + b )· c = a · c + b · c ??运算性质及重要结论 ? ? 平面向量基本定理：如果e , e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ， 1 2 有且只有一对实数? , ? ，使a ? ? e ? e ，称? e ? e 为e , e 的线性组合. 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ①其中e , e 叫做表示这一平面内所有向量的基底； 1 2 ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e , e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一 1 2 的. ③当基底e , e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际 1 2 上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， ??? ??? 即若 A(x，y)，则OA =(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即 A