证明角相等的方法.docx

证明两角相等的方法 黄冈中学 初三数学备课组 【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来 麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线： 对顶角相等； 等角的余角（或补角）相等； 两直线平行，同位角相等、内错角相等； 凡直角都相等； 角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； 三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 全等三角形的对应角相等； 相似三角形的对应角相等. 3、四边形 平行四边形的对角相等； 菱形的每一条对角线平分一组对角； 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等. 圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. 三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. 正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例 1 已知：如图，CD⊥AB 于点 D ，BE⊥AC 于点 E ，BE 与CD 交于点O ，且 BD ? CE ． 求证： AO 平分?BAC ． 分析：要证 AO 平分?BAC ，因为 CD⊥AB 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ，所以只要证明OD=OE；若能证明若能证△OBD≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE，而BD=CE，故问题得到解决． 证明：∵ CD⊥AB 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△OBD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD≌△OCE ∴OD=OE ∵ CD⊥AB 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ∴ AO 平分?BAC ． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例 2 如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E 是梯形内一点，ED⊥AD，BE=DC，∠ECB=45 o．求证：∠EBC＝∠EDC 分析：要证明∠EBC＝∠EDC，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果 能构造出两个全等的三角形即可。延长DE 与 BC 交于点于点 F， 这样就很容易证 △BEF≌△DCF，从而问题得到解决。证明：延长DE 与 BC 交于点于点F AD∥BC，ED⊥AD ∴DF⊥BC ∴∠BFE=∠DFC=90° ∵∠ECB=45 o ∴∠ECB=∠CEB=45 o ∴CF=EF 在 Rt△BEF 和 Rt△DCF 中EF=CF ，BE=DC ∴Rt△BEF≌Rt△DCF ∴∠EBC＝∠EDC 说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等 例 3 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形 AEBC是平行四边形． 求证：∠ABD＝∠ABE． 分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE 即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD， 而 AB 为公共边，故问题得到解决． 证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝BD． ∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE． ∴AD＝AE，BD＝BE． 又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE． ∴∠ABD＝∠ABE． 说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等． 总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。 （二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例 4．已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE，DG⊥CE，G 是垂足， 求证：⑴G 是 CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE. 分析：⑴已知中多垂直和中线条件， 可联想直角三角形斜边上的中线性质； 要证明G 是 CE 的中点，结合已知条件DG⊥CE， 符合等腰三角形三线合一中的两个条件， 故连结DE，证明△DCE 是等腰三角形，由DG⊥CE， 可得 G 是 CE 的中点. ⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B 转化为∠EDB. 证明：⑴