直角三角形的存在性问题解题策略2011中考压轴题.docx

数学试卷第 数学试卷第 PAGE 1 页(共 4 页) 直角三角形的存在性问题解题策略 1.（遵义市 2011）27．（14 分）已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3(a ? 0) 经过 A(3，0), B(4，1) 两点，且与y 轴交于点C。 求抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3(a ? 0) 的函数关系式及点C 的坐标； 如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点 P，使△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与A、C 重合）经过A、E、O 三点的圆交直线AB 于点F，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。 考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据 A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； 从当△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案； 根据当 OE∥AB 时，△FEO 面积最小，得出 OM=ME，求出即可． 解答：解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+3（a≠）0 ∴错误！未找到引用源。， 解得：错误！未找到引用源。， 经过 A（3，0），B（4，1）两点， ∴y=错误！未找到引用源。x2﹣错误！未找到引用源。x+3； ∴点 C 的坐标为：（0，3）； 当△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A（3，0），B（4，1）， ∴AM=BM=1， ∴∠BAM=45°， ∴∠DAO=45°， ∴AO=DO， ∵A 点坐标为（3，0）， ∴D 点的坐标为：（0，3）， ∴直线 AD 解析式为：y=kx+b，将 A，D 分别代入得： ∴0=3k+b，b=3， ∴k=﹣1， ∴y=﹣x+3， ∴y=错误！未找到引用源。x2﹣错误！未找到引用源。x+3=﹣x+3， ∴x2﹣3x=0， 解得：x=0 或 3， ∴y=3 或 0（不合题意舍去）， ∴P 点坐标为（0，3）， 当△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°， 由（ 1 ） 得， FB=4 ， ∠FBA=45°， ∴∠DBF=45°，∴DF=4， ∴D 点坐标为：（0，5），B 点坐标为：（4，1）， ∴直线 AD 解析式为：y=kx+b，将 B，D 分别代入得： ∴1=4k+b，b=5， ∴k=﹣1， ∴y=﹣x+5， ∴y=错误！未找到引用源。x2﹣错误！未找到引用源。x+3=﹣x+5， ∴x2﹣3x﹣4=0， 解得：x1=﹣1，x2=4， ∴y1=6，y2=1， ∴P 点坐标为（﹣1，6），（4，﹣1）， ∴点 P 的坐标为：（﹣1，6），（4，﹣1），（0，3）； 作EM⊥BO， ∵当 OE∥AB 时，△FEO 面积最小， ∴∠EOM=45°， ∴MO=EM， ∵E 在直线CA 上， ∴E 点坐标为（x，﹣x+3）， ∴x=﹣x+3， 解得：x=错误！未找到引用源。， ∴E 点坐标为（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 2.（2010 年广东省中山）22．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2。动点M、N 分别从点D、B 同时出发，沿射线DA、线段BA 向点A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停 止运动。连接FM、FN，当F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点 作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒。试解答下列问题： 说明△FMN∽△QWP； 设 0≤x≤（4即 M 从D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ 问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值。 PWAMBQND P W A M B Q N P W M Q A N B 第 22 题图（1） 第 22 题图（2） 【答案】解：（1）由题意可知 P、W、Q 分别是Δ FMN 三边的中点， ∴PW 是Δ FMN 的中位线，即PW∥MN ∴Δ FMN∽Δ QWP 由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 FM 2 = 4 ? x 2 ， MN 2 = (4 ? x)2 + (6 ? x)2