“华罗庚金杯”全国少年数学邀请赛金牌辅导（初中一年级）.pdf

2009年第14届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷及详解 一、填空题（每小题10分，共80分） 1计算：（105×95＋103×97）－（107×93＋101×99）＝______。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】16查看答案 【解析】原式 。 2如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有______个。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】64查看答案 【解析】如图：在第二行的四个小正方形中，两条直角边分别是1和3的之直角三角形有4个（前三格中有，；同样在后三格中也有两个），而像这样的四个小正方形共有16个，故在4×4方格图中，共有个两条直角边分别是1和3的直角三角形。 3将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”．删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是______。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】4查看答案 【解析】第一次删掉的数的位数为：1，3，5，7，9，…，2007，2009（以1为首项，2为公差的等差数列）．剩下的数列的位数为2，4，6，8，…，2006，2008，共1004项； 第二次删掉的数的位数为：2，6，10，14，18，…，2004，2006（以2为首项，4为公差的等差数列）．剩下的数列的位数为4，8，12，…，2004，2008，共502项； 第三次删掉的数的位数为：4，12，…，1996，2004（以4为首项，8为公差的等差数列）．剩下的数列的位数为8，16，…，2000，2008，共251项； 第四次删掉的数的位数为：8，24，…，1992，2008（以8为首项，16为公差的等差数列）．剩下的数列的位数为16，32，48，…，2000，共125项； …， 故第次删掉的数的位数是以为首项，为公差的等差数列（对应的剩余的数的位数是以为首项，为公差的等差数列）。 删掉第五次后，剩余的数的位数有62项； 删掉第六次后，剩余的数的位数有31项； 删掉第七次后，剩余的数的位数有15项； 删掉第八次后，剩余的数的位数有7项； 删掉第九次后，剩余的数的位数有3项； 删掉第十次后，剩余的数的位数有1项，故总共需要进行10次删除，才剩余1项。 故剩余的最后一位数的位数为，，故在所给的数列中最后剩余的一位数为数列中的第二位，即4。 4A，B，C，D，E，F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C．开始时，A，B，C，D，E，F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有______个小朋友又拿到了自己的玩具。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】2查看答案 【解析】传递方向可用图示表示为： 由图示可直接看出：B、D直接在互换玩具，故只要经过偶数次轮，B、D又都拿到自己的玩具； 由图示还可看出：A、C、E、F每经过4（是所换的轮数）轮，就会拿回自己的玩具．因为2002不是4的倍数，故经过2002轮，A、C、E、F拿不回自己的玩具。 综上：传递完2002轮时，有B、D共2个小朋友拿到自己的玩具。 5某班学生要栽一批树苗．若每个人分配棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么______。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】8查看答案 【解析】设该班有学生个（为正整数）。 由于不管怎么分，数的总量不变，可得方程，即。 由得，。 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，（满足）； 综上：，该班有学生23人。 6已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C＝1001×28×11，那么A＋B＋C的最小值为______。 【来源】第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷） 【答案】222查看答案 【解析】因为，，故A×B×C＝7×11×13×4×7×11。 由A，B，C两两互质，可知11×11，7×7必分别为A、B、C中一个数的因子。 不妨设11×11为A的因子，7×7为B的因子，联合A，B，C均是合数，可得A、B、C的可能值为：（11×11，7×7，13×4）或（11×11，7×7×13，4）或（11×11×13，7×7，4）。