暑假七年级升八年级数学考点衔接（人教版）专题13 角平分线的性质与判定(解析版）.docx

文档来源网络 侵权联系删除 仅供参考 专题13 角平分线的性质与判定 新知预习 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB? ∴∠MOP=∠NOP 新知训练 考点1：角平分线的性质 典例1：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分 (1)DE平分∠ADC； (2)AD＝ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的性质得到EB＝EF，等量代换得到EF＝EC，利用 （2）由（1）得出FD＝CD，利用HL证明Rt△AEF≌ 【详解】（1）证明：如下图，过E作EF⊥AD于F， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴EB＝ ∵点E是BC的中点， ∴EB＝ ∴EF＝ ∵DC⊥BC， ∴∠EFD＝ 在Rt△EFD和Rt EF=ECED=ED ∴Rt△EFD≌ ∴∠FDE＝ ∴DE平分∠ADC； （2）解：由（1）知，Rt△EFD≌ ∴FD＝ 在Rt△AEF和Rt EF=EBAE=AE ∴Rt△AEF≌ ∴AF＝ ∵AD＝ ∴AD＝ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键． 【变式1】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN， (1)求证：OP平分∠AOB； (2)若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)OM+ON=20 【分析】（1）根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可求证； （2）通过△PMN的面积等于16可求出（1）中PC，PD，PE的长度，根据△PMN与△OMN的面积和等于四边形MONP的面积，即可将线段OM与ON建立联系，由△PMN与△OMN的面积关系即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过P作PC⊥MN， ∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB， ∴PD=PE，PC=PE， ∴PD=PE， ∵PD⊥AO， ∴OP平分∠AOB． （2）解：如图所示，过P作PC⊥MN，PD⊥OA， ∵MN=8， ∴PC=4，由（1）可知PD=PE=PC=4， ∵S△PMN ∴S四边形MONP=40 ∴40=1 ∴OM+ON=20． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与面积的综合应用，理解角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的面积与线段的关系是解题的关键． 【变式2】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】过点D分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为点E,F,G，先根据角平分线的性质可得DE=DF=DG，再根据直角三角形全等的判定与性质即可得证． 【详解】证明：如图，过点D分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为点E,F,G， ∵△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D， ∴DE=DF=DG， 在Rt△ADE和Rt△ADG中， ∴Rt ∴∠DAE=∠DAG， ∴AD是∠BAC的平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题关键． 【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB=CD，AC平分∠BAD (1)∠B (2)AD＋ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点，则有Rt△CEB≌ （2）先证明△AFC≌△AEC，则有AF=AE整理解题即可． 【详解】（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点， ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC= ∵CE⊥AB， ∴CE=CF， ∵CB=CD，∠CEB= ∴Rt△CEB≌ ∴∠B= ∵∠CDF+ ∴∠B+ （2）∵∠CAF= ∴△AFC≌△AEC（ ∴AF=AE． ∵AF=AD+DF， ∴AF=AD+EB． ∵AE＝ ∴AF+AE=AD+AB， ∴AD+AB=2AE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 考点2：角平分线的判定 典例2：（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在△ABC和△DEC中，A