随机变量及其分布知识点总结资料讲解.docx

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 — 般地， 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x , x 1 2  ,??? , x , ??? , x i n  ， X 取每一个值 x (i ? 1,2,??? , n) 的概率 i P( X ? x ) ? p ，则称以下表格 XP X P x 1 p 1 x 2 p 2 … … x i p i … … x n p n 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1） P ≥ 0, i ? 1,2,??? , n （2） p ? p ? ??? ? p ? 1 i 1 2 n 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 0 1 P 1-p p 则称 X 服从两点分布，并称 p=P(X=1) 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件?X ? k?发生的概率为： Ck Cn?k P( X ? k) ? M N ?M Cn N , k ? 0,1,2,3,..., m 则随机变量X 的概率分布列如下： X X 0 1 … m P C0 Cn?0 M N ?M Cn N C1 Cn?1 M N ?M Cn N … Cm Cn?m M N ?M Cn N 其中m ? min?M , n?, 且n ? N, M ? N, n, M , N ? N *。 注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且 P( A) ? 0 ,称 P(B | A) ?  P( AB) P( A)  为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0 ≤ P(B | A) ≤1 如果 B 和 C 互斥，那么 P[(B U C) | A] ? P(B | A) ? P(C | A) 三、相互独立事件 设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 P( AB) ? P( A)P(B) ),则称事件A 与事件 B 相互独立。即A、B相互独立 ? P( AB) ? P( A)P(B) 一般地，如果事件 A ,A ,…,A 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 1 2 n 即 P( A A ...A ) ? P( A )P( A )...P( A ) . 1 2 n 1 2 n 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记 A 是“第i 次试验的结果”，显然， P( A A  ??? A  ) ? P( A )P( A  ) ??? P( A ) i “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 1 2 n 1 2 n 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次 独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P( X ? k ) ? Ck pk (1? p)n?k ? Ck pk qn ?k , k ? 0,1,2,..., n.(其中q ? 1 ? p) ，而称p 为成功概率. n n 五、二项分布 一般地，在 n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P( X ? k ) ? Ck pk (1? p)n?k ，k ? 0,1,2,??? , n X0 X 0 1 … k … n P C 0 p0 qn n C1 p1qn?1 n … Ck pk qn?k n … Cn pnq0 n 此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ~ B(n, p) ，并称p 为成功概率. n12 n 1 2 i n 3．若 X ~ B(n, p) ，则 E( X ) ? np X x 1 x 2 … x i … x 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 P p p … p … p 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 则称 E( X ) ? x p 1 1 x p 2 2 ? x p i i ? x p XP X P x 1 p 1 x 2 p 2 … … x i p i … … x n p n 为 X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型 则