初中数学竞赛专题选讲《待定系数法》.pdfVIP

初中数学竞赛专题选讲待定系数法 一、内容提要 1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示 这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不管用什么实数值代入左右的两边，等式 总是成立的. 符号 “≡”读作 “恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如： 2 2 2 （x+3） x+6x+9, 5x －6x+1 (5x－1)(x－1), x －39x－70 (x+2)(x+5)(x－7).3 都是恒等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如： 已知：恒等式ax+bx+c 2(x+1)(x－2).2 求：①a+b+c ； ②a－b+c. 解：①以x 1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4. ②以x －1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0. 2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，那么左右两边同类项的系数相等. n n－1 n n－1 即 如果 ax+ax +……+a x+a bx+bx +……+b x+b 0 1 n－1 n 0 1 n－1 n 那么 a b ， a b ， ……， a b ， a b. 0 0 1 1 n－1 n－1 n n 上例中又解： ∵ax+bx+c 2x －2x－4.2 2 ∴a 2, b －2, c －4. ∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0. 3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性 质，确定待定系数的值. 二、例题 2 x  x  2 A B C 例1. 已知：   x(x 3)(x  2) x x 3 x  2 求：A，B，C 的值. 解：去分母，得 x －x+2 A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).2 根据恒等式定义 （选择x 的适当值，可直接求出A，B，C 的值）， 1 当x 0时， 2＝－6A. ∴A＝－ . 3 8 当x 3时， 8＝15B. ∴B＝ . 15 4 当x －2时， 8＝10C. ∴C＝ . 5 此题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性 质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解. （见下例）. 例2. 把多项式x －x+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.3 2 解：用待定系数法： 设x －x+2x+2 a(x－1)+b(x－1)+c(x－1)+d3 2 3 2 把右边展开