常微分方程奇解与包络演示文稿.pptVIP

常微分方程奇解与包络演示文稿 当前第1页\共有32页\编于星期二\22点 常微分方程奇解与包络 当前第2页\共有32页\编于星期二\22点 2.4 奇解 包络和奇解 克莱罗方程（Clairant Equation） 本节要求： 1 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。 主要内容 当前第3页\共有32页\编于星期二\22点 利用通解和特解可以构造解： 从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。 解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件 例1 得通解 由 当前第4页\共有32页\编于星期二\22点 当前第5页\共有32页\编于星期二\22点 x y 当前第6页\共有32页\编于星期二\22点 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线 当前第7页\共有32页\编于星期二\22点 一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。 当前第8页\共有32页\编于星期二\22点 当前第9页\共有32页\编于星期二\22点 例 单参数曲线族 R是常数，c是参数。 x y o 显然， 是曲线族 的包络。 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。 当前第10页\共有32页\编于星期二\22点 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 当前第11页\共有32页\编于星期二\22点 二、不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数 在区域 上有定义，如果 在D上连续且 在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的 任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。 有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个 当前第12页\共有32页\编于星期二\22点 当前第13页\共有32页\编于星期二\22点 定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。 证明： 应用定理2.1积分曲线与线素场的关系的充要条件 当前第14页\共有32页\编于星期二\22点 三 求奇解（包络线）的方法 C-判别曲线法 P-判别曲线法 设一阶方程 的通积分为 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组 消去 C 而得到的曲线中。 当前第15页\共有32页\编于星期二\22点 设由 能确定出曲线为 则 对参数 C 求导数 从而得到恒等式 当前第16页\共有32页\编于星期二\22点 当 至少有一个不为零时 有 或 这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。 注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 当前第17页\共有32页\编于星期二\22点 例1 求直线族 的包络，这里 是参数，p 是常数。 解： 对参数 求导数 联立 相加，得 ，经检验，其是所求包络线。 x y o p 当前第18页\共有32页\编于星期二\22点 例2 求直线族 的包络，这里 c 是参数。 解： 对参数 c 求导数 联立 得 从 得到 从 得到 因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。 当前第19页\共有32页\编于星期二\22点 x y o 当前第20页\共有32页\编于星期二\22点 2 p-判别曲线 结论：方程 的奇解包含在下列方程组 消去 p 而得到的曲线中。 注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 当前第21页\共有32页\编于星期二\22点 例3 求方程 的奇解。 解： 从 消去 p，得到 p-判别曲线 经检验，它们是方程的奇解