数形结合思想例题分析.docx

v1.0可编写可改正 数形联合思想例题剖析 一、结构几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式： 例1 已知x、y、z、r均为正数，且x2 y2 z2,zx2 r2 x2 求证：rzxy. C y r x A B z 剖析：由x2y2z2,自然联想到勾股定理。由zx2r2x2.能够联想到 射影定理。进而能够作出切合题设条件的图形（如图）。比较图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性了如指掌。 证明：（略） 小结：波及到与平方相关的恒等式证明问题，可结构出与之对应的直角三角形或圆，而后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。 2、证明不等式： 例2已知：0＜a＜1，0＜b＜1.求证 a2b2 (1 a)2 b2 a2 (1b)2 (1a)2(1b)2 22. 证明：如图，作边长为 1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=a；在AD上取点G，使AG=b， 过E、G分别作EF由题设及作图知△ AOG、△BOE、△COF、△DOG均为直角三角形，所以 OA a2 b2 OB (1 a)2 b2 OC (1 a)2 (1b)2 OD a2 (1 b)2 且AC BD 2 -0-第-0-页共5页 v1.0可编写可改正 因为OAOCAC,OBODBD.所以： a2b2 (1a)2b2 a2(1b)2 (1a)2(1b)2 22. 当且仅当ab 1 时，等号成立。 2 小结：在求证条件不等式时，可依据题设条件作出对应的图形，而后运用图形的几何性质或许平面 几何的定理、公义去成立不等式使结论获证。 、求参数的值或参数的取值范围： 例3若方程ax22x10（a＞0）的两根知足：x1＜1，1＜x2＜3，求a的取值 范围。 分析：画出与方程对应的二次函数 yax2 2x1（a＞0）的草图： y y 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 由图可知：当x=1时，y＜0；当x=3时，y＞0. 即a12211＜0；a32231＞0. 5 解得：9＜a＜1. 例4 若对于x的不等式0 x2 mx21的解集仅有一个元素，求 m的值。 y 解：如图：在同一坐标系内，作出 y 1与y x2 mx 2 的图象。题设条件等价于抛物线y x2 mx 2在直线y 0与 y 1之间的带状地区仅有一个交点， 且抛物线张口向上。由图形的直观 -1-第-1-页共5页 y=1 0  x v1.0可编写可改正 性质可知：这个交点只好在直线y 1 y 1 上，故方程组 y x 2 mx2 仅有一组解。 m2410 即 m2. 小结：对于含参方程（不等式） ，可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形联合思想，去揭 示问题中所包含的几何背景，常常能为解题供给清楚的思路。 4、求最值问题： 例5已知a、b均为正数，且ab 2.求a2 4 b21的最小值。 解：如图，作线段 AB=2，在AB上截取AE=a， C EB=b，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD=1。由勾股定  2  D 理：CE=a2 4，BD= b21，原题即求CE+ED的最小值。 1 A a Eb B 又如图，延伸CA至G,使AG=AC，连结GE，由三角形两边之和大于第三边， 则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延伸 DB至F，使BF则在2 2 Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2 G 2 F DF2 GF2 3222 DG 13 CE+DE的最小值是13. 即a24b21的最小值是13. 小结：本题由式子特色联想勾股定理，结构图形解决问题。 二、用代数与三角方法解决几何问题： A 例6如图，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分别是AB、AC边 F 上的高。试证：ABCF ACBE E 证法一：（三角法）因为0 sinA1， C B ABAC(ABAC)sinA 2第2页共5页 v1.0可编写可改正 ABACsinAACABsinA ABCFACBE(当A90时取等号) 证法二：（代数法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE 1 1 及S△ABC ABCF ACBE 2 2 AB AC AB-BE AC CF BE CF 变形得： . AB AC AB BE＞AC CF AB CF＞AC BE 当 A90时,ABCF=AC BE. 综上：ABCFACBE. 小结：以上两种证明方法，分别采纳了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。 例7如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DEBC，EFAC，FDAB同时成 立，求点D在AB上的地点. 剖析：先假定切合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，找寻线段与角之间的数目关系，列 出含有待求量的等式（方程），以求其解。 解：设AB=1，AD=x C 因为△ABC为正三角形， F 且DE