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精品
专题：椭圆中焦点三角形的性质及应用
前言：焦点三角形，又称 “魅力三角形”，其定义为：椭圆上任意一点与两焦点所构
成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题主要是：考查椭圆定义、三角形中的
正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等知识点.
性质一：(面积公式) 已知椭圆方程为 x 2 y 2 1( 0), 两焦点分别为 , ,
a b F F 设
a 2 b 2 1 2
焦点三角形 2 .( 由《名师》P35 品味 12 引出)
PF F 中 F PF , 则 S b tan
1 2 1 2 F PF 2
1 2
专题训练：
1. 已知P(3, 4) 为椭圆 x 2 y 2 1( 0) 上的一点,
a b F , F 为焦点，若 F P PF ,求
a2 b2 1 2 1 2
F PF 的面积 .(20)
1 2
2. 若 P 为椭圆 x 2 y 2
1上的一点， F , F 为左右焦点，若 F PF ，求点 P 到 x 轴
4 3 1 2 1 2 3
的距离. ( 3 )
性质二： (顶角最大) 已知椭圆方程为 x 2 y 2 1( 0), 左右两焦点分别为
a b
a 2 b 2
F , F , 设焦点三角形 PF F ，若F PF 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点.
1 2 1 2 1 2
x 2 2
1. 点 P 在椭圆 y 2 1上, F , F 为焦点，则 F PF 的取值范围 .( 0, )
4 1 2 1 2 3
2. 若 P 在椭圆 x 2 y 2
1(5 b 0) 上的一点， F , F 为左右焦点，若 F PF 的最大值
25 b2 1 2 1 2
x
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