江西省丰城中学2020届高考冲刺阶段专题集训(理科)数学10空间向量在立体几何中的应用测试卷(含解析).docx

2020届高考冲刺阶段专题集训（理科）数学10 空间向量在立体几何中的应用 1.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,若AP=AB=1AD=1,AC=√3. 2 (1)求证:平面PAC⊥平面PCD. (2)求棱PD与平面PBC所成角的正弦值. 2.如图,多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且 BC=BB1=2. (1)若D为AA1的中点,求证:AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B的大小为π3,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 3.在以下图的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,四边形ADNM是矩形,∠ π DAB=3,AB=2,AM=1,E是AB的中点. (1)求证:平面DEM⊥平面ABM. π (2)在线段AM上能否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为4?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理 由. 4.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,将△ADB沿直线DB折起到△PDB的地点(点P不与A,C两点重合). (1)求证:BD⊥平面PAC. 当 ⊥平面 时 是线段 上的一个动点 若 与平面 所成的角为 ???? (2) ABCD ,M PC OM PBC 的值. PO , 30°,求???? 参照答案与分析 1.解：(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD, ∵AD=2,AC=√3,CD=AB=1,∴AD2=AC2+CD2,∴AC⊥CD, ∴CD⊥平面PAC. 又CD?平面PCD, ∴平面PAC⊥平面PCD. (2)以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,成立以下图的空间 直角坐标系, 则B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-1,√3,0),P(0,0,1), 于是???=?(1,0,-1),????=(0,√3,-1),????=(?-1,√3,-1), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则{??·???=?0,可取n=(√3,1,√3), ?? ??·????=0, 设PD与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,????>|=?√105. 35 2.解：(1)取B1C1的中点N,连结MN,则MN为△B1C1C的中位线,∴MN=1CC1.∵D为AA1的中 2 点,∴AD=1CC1,∴MN∥AD,MN=AD, 2 ∴四边形ADNM为平行四边形, ∴AM∥DN,∴AM∥平面DB1C1. (2) 由B1C1⊥DN,B1C1⊥MN,得∠DNM为二面角D-B1C1-B的平面角, 由二面角D-B1C1-B大小为 π 1 3,得AD=2BB1, 如图,设BC的中点为O,以直线OB,ON,OA分别为x,y,z轴成立空间直角坐标系O-xyz,则 A(0,0,√3),C(-1,0,0),B1(1,2,0),D(0,1,√3). ∴???? ?? ??????? 设平面 ACB 1的法向量为 n=(x,y,z), 1 =(1,1,-3), ??=(-1,0,-3), 1 =(1,2,- 3). √ √ √ 则{??·???????1=0,可取n=(-√3,√3,1), ?? ??·????=0, ∴|cos<n,???? |????·????|√105 1 = , ???????? 35 |????1||??| ∴ 1 所成角的正弦值为 √105 35. ACB 3.解： (1)由于四边形ABCD是菱形,∠DAB= π ,E是AB的中点,因此DE⊥AB. 3 由于四边形ADNM是矩形,因此MA⊥AD,由于平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,因此MA⊥平面ABCD. 又DE?平面ABCD,因此DE⊥AM.又AM∩AB=A,AM,AB?平面ABM. 因此DE⊥平面ABM, 由于DE?平面DEM,因此平面DEM⊥平面ABM. (2)在线段AM上存在点P,原因以下: 以D为原点,DE,DC,DN所在直线分别为x轴,y轴,z轴,成立以下图的空间直角坐标系D-xyz. 则D(0,0,0),E(√3,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),????=(-√3,2,0), 设P(√3,-1,m)(0≤m≤1),则???=(0,-1,m), 易知平面ECD的一个法向量为?????=(0,0,1). 设平面PEC的法向量为n=(x,y,z), ??????=0,-√3x+2y=0, 则{·即{取z=1, ?? -??+????=0, ??·??=0, 2?? 则n=(,m,1), √3 假定在线段AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为π, 4 则cosπ ???? 解得 ??·???? 4??2 1 ,