立方根培优讲义.docx

第2讲立方根 知识点一立方根和开立方 １．立方根的定义 一般的，假如一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根或三次方根，即假如x3a，那么x 叫做a的立方根，记作3a。 注意：（1）每个数a都只有一个立方根。 （2）三次根号“3”中的3不可以省略不写，若省略了就变为二次根号了。 （3）由于3a表示a的立方根，因此有立方根的定义可得 3 3 aa。 ２. 立方根的性质 任何实数都有独一确立的立方根。 正数的立方根是一个正数。 负数的立方根是一个负数。 ０的立方根是０. .开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 3a 3 a 3a3a 3a3a（a取任何数）这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。 ０的平方根和立方根都是０自己。注意：（1）开立方与立方互为逆运算。 （2）立方根等于其自己的数有三个： 1，-1，0。 3）被开方数为带分数时，应先将它们化为假分数。知识点二推行：n次方根 １.假如一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。 当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个。 n a ０的偶次方根为０。 n0 0 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。 ０的奇次方根为０。 负数的奇次方根为负。 ３. n a na na n a(a0)； nan a(a0)； na n nan (a0) 知识点三立方根的性质与平方根的相关性质进行比较 一个数的平方根和一个数的立方根，有什么同样点和不一样点同样点：正数，都存在平方根或立方根； 零，都存在一个平方根或立方根，它们都是零．不一样点：正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不一样； 负数，有一个立方根，仍是负数；但负数却没有平方根．这是由于，正数、零、负数的平方都不是负数． 例1.（1）64的立方根是 （2）以下说法中：① 3都是27的立方根，② 3y3 y，③ 64的立方根是2，④3 82 4。 此中正确的有 （ ） A、1个B 、2个 C 、3个D 、4个 剖析：（1）我们知道4的3 次方等于64，因此 64的立方根就是 4； （2）①立方根只有一个， 27的立方根是 3，而不是正负 3，-3的立方等于-27，错；② 依据立方根 的定义可知对；③ 根号64 开方等于8，立方根是2，正确；④ 先把3次根号里面的化简等于 3次根号下 64，那么应当等于4，错。 例2.求以下各数的立方根： (1) 8；(2)-125 ；(3) ；(4)0 （5）27 （6）－27 27 8 8 重申： 这就是说，求负数的立方根，能够先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数． 求负数的立方根有两个方法，一是由立方根定义去求，二是转变为先求负数的绝对值的立方根，再求它的相反数． 练习：求以下各数的立方根： （1）－1 ；（2）；（3）1－7 ；（4）， 64；（5）169－1． 27 8 512 例3.已知：3xx3+5＝ｙ，求ｘ+ｙ的立方根． 例4.已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 练习：1.若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的全部可能值． 2.已知：（ｘ－1）2+y3xyz＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根． 例5.求以下各式中的ｘ： （1）169ｘ2＝100；（2）（2ｘ－1）2＝289； （3）125－8ｘ3＝0；（4）（ｘ+3）3＝4． 练习：（1）27 x3-2=0； （2）1（x+3）3=4． 4 2 例6. 选择题 1. －1的立方根是（ ） 8 A，－1 B，±1 C，－1 D，1 8 2 2 2 2. 当ｘ＝－8时，则3 x2的值是（ ） A，－8 B，－4 C，4 D，±4 3. 若一个数的平方根与它的立方根完整同样，则这个数是（ ） A，1 B，－1 C，0 D，±1,0 以下说法：①一个数的平方根必定有两个；②一个正数的平方根必定是它的算术平方根； ③负数没有立方根．此中正确的个数有（） A，0个B，1个C，2个D，3个 例7.填空题 的算术平方根是＿＿＿，立方根是＿＿＿＿． 若a＝2，则（2ａ－5）2－1的立方根是＿＿＿＿．的平方根的立方根是＿＿＿＿＿． 计算：3119＝＿＿＿＿＿＿． 27 若13a3b＝0，则3ab＝＿＿＿＿． 例8.若32a1和313b互为相反数，求a的值。 b 例9设1996x3＝1997y3＝1998z3,xyz0, 且3  1996x2  1997y2  1998z2  ＝  3  1996  +3  1997  +3  1998，求  111 ++. xyz 解设1996x3＝1997y3＝1998z3＝a， 则1996x2＝a,1997y2＝a,1998z2＝a, xyz