角平分线的性质课件数学青岛版八年级上册.pptx

2.5 角平分线的性质 P铁路公路铁路AB角平分线的性质探究： 猜想：当∠1与∠2具有怎样的大小关系时，PA与PB相等？试证明。O21猜想：∠1 ∠2证明：在△PAO与△PBO中： ∠ =∠ （直角） ∠ =∠ (已知) = (公共边)∴ △PAO≌ △PBO （ ）∴PA=PB （全等三角形的对应边相等）当点P的位置变化时，结论PA=PB还成立吗？PAO PBO 1 2 PO PO AASPP=总结：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。性质和判定的区别和联系：性质说明只要是角平分线上的点，它到角两边的距离一定相等，无一例外；判定反映了只要是到角两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个。前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线） ABC∥∥ 则P是 内部一个到 的两边AB、AC距离相等的点。作直线AP。如果将 沿AP对折，你发现 重合吗？P 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.作用：判断点是否在角平分线上的依据.符号语言：∵ PM⊥AB PN⊥AC 且PM=PN∴点P在∠BAC的角平分线上CBMAPND12得出结论 CEPA已知：∠BAC求作：∠BAC的平分线APBF 作法：1、以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于E，交AC于F.2、分别以E、F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P.3、作射线AP.则射线AP即为所求。尺规作角的平分线 在△AEP和△AFP中， ∵　AE=AF,　　　PE=PF,　 AP=AP.∴△AEP≌△AFP(SSS),∴∠EAP=∠FAP.即: AP 是∠BAC的角平分线.BCAPFE连结PE,PF，想一想：为什么OC是角平分线呢？ ∵BM是△ABC的角平分线， PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理可证：PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，例1.如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等DPMNABCFE点P在∠A的平分线上吗 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.符号语言：∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN∴AP平分∠BACCBMAPND12角平分线的判定温馨提示：该判定主要用于证明两角相等， 角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定归纳、比较性质用于证明两线段相等 判定用于证明两角相等 ∵BM是△ABC的角平分线， PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理可证：PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等DPMNABCFE典例示范点P在∠A的平分线上吗结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. CEPA思考：已知：∠BAC求作：∠BAC的平分线APBF作法： 1、以A为圆心，适当长 为半径作弧，交AB于E， 交AC于F.2、分别以E、F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P.3、作射线AP，射线AP即为所求.则射线AP即为所求。尺规作角的平分线你能证明射线AP，就是∠BAC的角平分线吗？ 求证： AP是∠BAC的角平分线在△AEP和△AFP中，　　　AE=AF,　　　PE=PF,　 AP=AP.∴△AEP≌△AFP(SSS),∴∠EAP=∠FAP.即: AP 是∠BAC的角平分线.BCAPFE证明:连结PE,PF，尺规作角的平分线 1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则 M到OB的距离为　　　㎝。3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON， 垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的 一个动点,则线段 PQ的最小值（ ） A．1 B.2 C.3 D.42. 如图，在△ABC中，∠C=90°， DE⊥AB，∠1=∠2，且