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解析几何基础知识
平行与垂直
若直线 l 和 l 有斜截式方程 l :y=k x+b ,l :y=k x+b ,则:
1 2 1 1 1 2 2 2
直线 l ∥l 的充要条件是: k =k 且 b ≠b
1 2 1 2 1 2
直线 l ⊥l 的充要条件是:k ·k =-1
1 2 1 2
三种距离
? ? ? ?两点间的距离平面上的两点 P (x ,y ),P (x ,y )间的距离公式|P P |= x -x 2+ y
? ? ? ?
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
点(0,0)与任意一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2.
点到直线的距离:点 P
(x ,y
)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d
|Ax +By +C|
0 0
两条平行线的距离 两条平行线 Ax+By+C
0 0 0
=0 与 Ax+By+C
=
|C -C |
=0 间的距离 d= 1 2
A2+B2
1 2
3、圆的方程的两种形式
①.圆的标准方程
A2+B2
(x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆.
②.圆的一般方程
对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
2 2 ?
D E? 1 2 2
当 D
+E -4F>0 时,表示圆心为③?- 2 ,-2?,半径为2
D +E
-4F的圆;
2 2 ? D E?
当 D
+E -4F=0 时,表示一个点?- 2 ,-2?;
当 D2+E2-4F<0 时,它不表示任何图形.
4、直线与圆的位置关系
①.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有:
几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离
②.直线与圆相交
?2?直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r2=d2+? l ?2,即 l=2 r2-d
?2?
已知弦长求解问题,一般用此公式.
5、两圆位置关系的判断
两圆(x-a
)2+(y-b )2=r2(r>0),(x-a )2+(y-b )2=r2(r
>0)的圆心距为 d,则
1 1 1 2 2 2 2
1.d>r +r ?两圆外离;2.d=r +r ?两圆外切;
1 2 1 2
3.|r -r |<d<r +r (r ≠r )?两圆相交_;4.d=|r -r |(r ≠r )?两圆内切;
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5.0≤d<|r -r |(r ≠r )?两圆内含
1 2 1 2
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6.椭圆
一、椭圆的定义和方程
椭圆的定义
平面内到两定点 F 、F 的距离的和等于常数 2a (大于|F F |=2c)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做
1 2 1 2
椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦点.
定义中特别要注意条件 2a>2c,否则轨迹不是椭圆;当 2a=2c 时,动点的轨迹是线段;当 2a<2c 时, 动点的轨迹不存在。
椭圆的方程
焦点在 x
x2 y2
1(a>b>0).
轴上的椭圆的标准方程:a2+b2=
y2 x2
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程: + =1(a>b>0).
a2 b2
二、椭圆的简单几何性质(a2=b2+c2)
标准方程
x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)
y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)
图
形
范围 -a≤x≤a
-b≤y≤b
性
-b≤x≤b
-a≤y≤a
质 对称性
对称轴:x 轴,y 轴
对称中心:坐标原点
顶点 B
A (-a,0),A
1
(a,0) A
2
(0,-a),A
1
(0,a)
2
(0,-b),B
1
(0,b) B
2
(-b,0),B
1
(b,0)
2
轴长轴 A A
轴
1 2
短轴 B B
1 2
性
的长为 2a 的长为 2b
质 焦距
离心率
|F F
1 2
e c
|=2c
(0,1)
a,b,c
的关系
=a∈
c2=a2-b2
双曲选
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 F 、F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |且不等于零)的点的轨迹叫做双曲
1 2 1 2
线.两个定点 F 、F 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离|F F |叫做双曲线的焦距.
1 2 1 2
二、双曲线的标准方程和几何性质
a2 2b标准方程 x2-y2=1(a>0,
a2 2b
y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0)
图形
范围
性
质 对称性
④x≥a 或 x≤-a ⑤_ y≥a 或 y≤-a
对称轴:x 轴、y 轴 对称轴:x 轴,y 轴
对称中心:坐标原点 对称中心:坐标原点
顶点 顶点坐标:A
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