高观点下的的中学数学.docx

高观点下的中学数学 高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于 19 世纪末，20 世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数” 之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法． （一） 高观点下研究中学数学的必要性 新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上 高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强 调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习， 更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及 所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学 数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形 势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现 为 （１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和 S ? 1 ? 2 ? 3 ?L ? 100 ? 101? 50 100 ?(n ?1) n  n为奇数 S ? 1? 2 ? 3 ?L ? n ? ??2 ? n(n ?1) n ? ?(n ?1) n ?1 ? n ?1 n为奇数 2 2S ? n(n ?1) n ?? 2 2 从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和， 从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题 相传在越南的某寺庙中有一个用 n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘， 一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上， 将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少 天？（可放回Ｂ处） A B C a ? 1, a 1 2 ? 3 , a 3 ? 7,L . a ? 2a ?1, n?1 n a ? 2n ?1 n 教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课 堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推 公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数 问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实 际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段， 将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可 把平面分成几部分？ a ? 2, a 1 n?1 ? a ? n ?1, a n n ? n(n ?1)?1 2 ◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？ a ? a ? a (n ? 3) n n?1 n?2 ( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题 12 1 2 5 A 3 4 1 2 n A 3 解法Ⅰ加法原理和乘法原理 4 ? 3?1? 2 ?1? 2 ? 4 ? 3? 2 ?1? 2 ?1? 4 ? 3? 2 ?1?1?1?1 ? 120 分１、4 同色与 1、4 不同色（2、4 同色与 2、4 不同色） 解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当n ? 4 时， a ? a ? 4 ? 3? 2n?1 , a ? 4！ n n?1 3 教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识， 抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性 同法． ( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越 广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高 考题） 分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小， 可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提 出１００人的错排，应如何解决呢？ 一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有 多少个？ 解 1 （容斥原理） 用 A 表示 i 在第 i 位的全排列 i （ i ? 1,2,? , n ），则 D ? ? A A1n A 1 ? ? ? An= S ? ? A A n i ? A i ? A ?? ? (?1)n ? A ? A j 1 2 ? ? ? A n = n!?C 1 (n ? 1)!?C 2 (n ? 2)!?? ? (?1) n C n 0! n n n = n!(1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? (?1)n 1 ) 2! 3! 解 2 （递推公式）设a , a 1